2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 14:25 


22/04/18
76
Для любого ли натурального $n$ существует решение уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = n$ в целых числах? Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов, то можно сказать, что $z= 0$ и уравнение имеет решение, так что в целом можно рассматривать только уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$. Мне удалось лишь понять, что $x$ обязательно четно, а $y$ и $z$ нечетны. Наверняка это уже кто-то изучал. Подскажите пожалуйста, кто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2778
Уфа
daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):
$x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$
Что-то слишком просто. Возьмите $z=1$ и получите уравнение $x^2 - y^2 = 4n+3$, которое вы уже умеете решать.
Или я не понял условие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 16:42 


22/04/18
76
Я хотел найти все решения для фиксированного $n$. Те, где подходит $z=0$ убрал, поскольку они мне не интересны в данной ситуации. Извиняюсь за неточную формулировку (когда писал конец, уже забыл что было в начале, первое предложение первого поста можно не читать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 17:41 


23/02/12
2191
daniel starodubtsev в сообщении #1399692 писал(а):
Очевидно, что если $n$ представимо разностью двух квадратов
Это выполняется только, если $n$ при делении на 4 не дает в остатке 2 (см. Серпинский стр. 18), поэтому уравнение $x^2 - y^2 - z^2 = 4n+2$ при $z= 0$ не имеет целых решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 17:50 


22/04/18
76
Именно поэтому мы его и рассматриваем

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 18:04 


23/02/12
2191
daniel starodubtsev в сообщении #1399763 писал(а):
Именно поэтому мы его и рассматриваем

Так Вы сформулируйте нормально постановку задачи. Что Вы хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 18:06 


22/04/18
76
Я хочу узнать как найти все целые корни уравнения $x^2 - y^2 - z^2 = 4n + 2$ для заданного $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2778
Уфа
1) $z$ обязано быть нечётным (и при любом нечётном $z$ есть решения).
2) Для каждого нечётного $z$ переносим $z^2$ направо, перебираем всевозможные целые делители правой части $p_i$: $z^2+4n+2=p_iq_i$, получаются решения $x=(p_i+q_i)/2$, $y=(p_i-q_i)/2$.
3) Других решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение17.06.2019, 21:50 


22/04/18
76
То есть необходима факторизация $z$? Возможно ли обойтись без неё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат минус ещё два
Сообщение20.06.2019, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13342
с Территории
Факторизация, но не $z$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group