Определить вероятность попадания в 3 мишени

[Nemooo]

Задача такая.

Каждый из трех стрелков производит по одному выстрелу по трём появляющимся мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле для стрелков неодинаковое равна соответственно $p_{1}, p_{2}, p_{3}$. Определить вероятность события: $A$ - ровно в одной из мишеней не будет ни одной пробоины.

Во как я решал.
Пусть $P(i)$ - вероятность попасть куда-то i-му стрелку, тогда
$P(A)=P(\overline{1})P(2|\overline{1})P(3|\overline{1}2)+P(1)[P(2|1)(strike-the-same-target)P(3|21)+P(2|1)[P(\overline{3}|12)+P(3|12)(strike-the-same-target)]+P(\overline{2}|1)P(3|1\overline{2})] = \frac{2}{3}p_{2}p_{3}+\frac{2}{3}p_{1}p_{2}+\frac{2}{3}p_{1}p_{3}-\frac{4}{3}p_{1}p_{2}p_{3}$



С ответом не совпадает.
Чего не так делаю?
Если есть другие варианты решения - напишите пожалуйста.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

Nemooo в сообщении #1399004 писал(а):

Задача такая.

Каждый из трех стрелков производит по одному выстрелу по трём появляющимся мишеням.

Сколько всего выстрелов делает каждый стрелок? Один? Три?

[Nemooo]

Я так думаю, что один выстрел

-- 13.06.2019, 09:53 --

Там забыл еще, если быть точным, то в условии так сказано

Каждый из трех стрелков производит по одному выстрелу по трём появляющимся мишеням, выбирая мишень наудачу и независимо от остальных стрелков. Вероятность попадания при одном выстреле для стрелков неодинаковое равна соответственно p1, p2, p3. Определить вероятность события: А - ровно в одно из мишеней не будет ни одной пробоины.

Пропущенное выделил.

[TOTAL]

$ \frac{2}{3}p_{2}p_{3}+\frac{2}{3}p_{1}p_{2}+\frac{2}{3}p_{1}p_{3}-\frac{4}{3}p_{1}p_{2}p_{3}$
У меня такой же ответ. А какой правильный?

[ewert]

Вроде бы тупой подсчёт даёт

$\frac{6}{27}\big(p_1p_2(1-p_3)+p_1p_3(1-p_2)+p_2p_3(1-p_1)\big)+\frac{18}{27}\cdot p_1p_2p_3=$

$=\frac29(p_1p_2+p_1p_3+p_2p_3)$

[ihq.pl]

TOTAL в сообщении #1399068 писал(а):

$ \frac{2}{3}p_{2}p_{3}+\frac{2}{3}p_{1}p_{2}+\frac{2}{3}p_{1}p_{3}-\frac{4}{3}p_{1}p_{2}p_{3}$

что-то не то..
Пусть $A$ - событие, вероятность которого надо найти.

$$A = A_1 + A_2 + A_3,$$

где событие $A_i$: в $i$-й мишени ни одной пробоины. В свою очередь $A_i = b_i+c_i+d_i$, где $b_i$: в мишень $i$ целился один стрелок и не попал; $c_i$ - целились два стрелка и оба не попали; $d_i$-целились три стрелка и не попали. Тупым сложением элементарых событий получилось, что $p\{b_i\} = (3-p_1-p_2-p_3)4/27$

[Nemooo]

Вот правильный ответ:

$P(A)=\frac{2}{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}) - \frac{ 1 }{ 9 } (p_{1} (p_{2}+p_{3})^{2}+p_{2} (p_{1}+p_{3})^{2} +p_{3} (p_{1}+p_{2})^{2})$

[Geen]

ewert в сообщении #1399078 писал(а):

Вроде бы тупой подсчёт даёт

Во втором слагаемом не требуется попадания всеми тремя стрелками...

-- 13.06.2019, 12:21 --

ihq.pl в сообщении #1399079 писал(а):

событие $A_i$: в $i$-й мишени ни одной пробоины.

А пробоины в остальных мишенях?

-- 13.06.2019, 12:21 --

Nemooo в сообщении #1399080 писал(а):

Вот правильный ответ:

Очевидно нет - квадратам вероятностей просто не откуда взяться...

[TOTAL]

Пусть $p_1=p_2=1, \, p_3=0$. Тогда искомая вероятность равна $2/3$, что не совпадает с "вот правильным ответом"

[ewert]

Geen в сообщении #1399081 писал(а):

Во втором слагаемом не требуется попадания всеми тремя стрелками...

Это правда. Тогда присоединяюсь к предыдущему ответу. Самое интересное, что Ваш вариант у меня с самого начала в голове мелькал, но потом куда-то вылетел.

А вот "правильный" ответ выглядит совсем неправдоподобным.

[ihq.pl]

ihq.pl в сообщении #1399079 писал(а):

событие $A_i$: в $i$-й мишени ни одной пробоины

Geen в сообщении #1399081 писал(а):

А пробоины в остальных мишенях?

а это не интересно, т.е. могут быть или не быть:) Или так: событие $A_i$ есть сумма всех таких событий, результат которых - "в $i$-й мишени нет ни одной дырки"

[Nemooo]

Geen в сообщении #1399081 писал(а):

ewert в сообщении #1399078 писал(а):

Вроде бы тупой подсчёт даёт

Во втором слагаемом не требуется попадания всеми тремя стрелками...

-- 13.06.2019, 12:21 --

ihq.pl в сообщении #1399079 писал(а):

событие $A_i$: в $i$-й мишени ни одной пробоины.

А пробоины в остальных мишенях?

-- 13.06.2019, 12:21 --

Nemooo в сообщении #1399080 писал(а):

Вот правильный ответ:

Очевидно нет - квадратам вероятностей просто не откуда взяться...

Скажите это авторам задачника.
Ну и какой же тогда правильный ответ?

[TOTAL]

Пусть все три попали, это дает $\frac{2}{3}p_{1}p_{2}p_{3}$
Пусть только первые двое попали, это дает $ \frac{2}{3}p_{1}p_{2}(1-p_3)$