2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 09:02 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
В теме https://dxdy.ru/topic24161.html (почти ровно 10 лет назад :P ) участник terminator-II приводил доказательство теоремы Брауэра, использующее дифференциальные формы. Я недавно увидел еще одно подобное доказательство. По-моему, оно даже чуть попроще, хотя суть одна. Оно более конкретное как бы.

Итак, покажем, что не существует гладкого отображения $f\colon B\to \partial B$ замкнутого шара $ B\subset \mathbb R^n$, тождественного на границе.

Предположим противное, пусть такое отображение $f=(f^1,\ldots,f^n)$ нашлось.

Пусть $\omega=x^1 dx^2\wedge\ldots\wedge dx^n$, $\tilde\omega=f^1df^2\wedge\ldots\wedge df^n$. Так как $f^i\mid_{\partial B}=x^i$ для всех $i=1,\ldots, n$, то $\tilde\omega\mid_{\partial B}=\omega\mid_{\partial B}$. Или по-научному, если $p\colon \partial B\to B$ - вложение, то сужение $$\tilde\omega\mid_{\partial B}=p^\ast\tilde\omega=p^\ast(f^1df^2\wedge\ldots\wedge df^n)=p^*(f^1)\wedge d p^*(f^2)\wedge \ldots\wedge d p^*(f^n)=x^1 dx^2\wedge\ldots\wedge dx^n$$
Значит,
$$
\int\limits_{\partial B} x^1 dx^2\wedge \ldots\wedge dx^n=\int\limits_{\partial B} f^1 df^2\wedge \ldots\wedge df^n
$$

Теперь применяем формулу Стокса к обоим интегралам. Слева получится $\int_B dx^1\wedge\ldots\wedge dx^n=\mathop{\mathrm{vol}} B\neq 0$, а справа -- $\int_B df^1\wedge\ldots\wedge df^n=0$, так как $df^1\wedge\ldots\wedge df^n\equiv 0$ в $B$, поскольку якобиан отображения $f$ равен нулю (отображение $B$ в $\partial B$). Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 09:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1026
МО

(А нет ли..)

А нет ли доказательства теоремы Брауэра, которое бы укладывалось в схему:
$f(\lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)) = \lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)$
Извиняюсь за оффтоп

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Скажите пожалуйста, что обозначает звёздочка и $p^\ast.$ (И то же самое ли это, что в прошлой теме $p_\ast$? А то уважаемый terminator-II с 2010 года не пишет на форуме...) А то у меня чтение оба раза "ломается" ровно на этом обозначении.

-- 11.06.2019 15:12:50 --

Но это доказательство я смог дочитать до конца, "проскочив" непонятное место. И понять. Ну, это "не настоящая" теорема Брауэра, вроде бы, а её гладкая версия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 15:58 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Munin
Да, это то же, что и в теме terminator-II. Это операция переноса форм, по-английски pullback вроде называется. Если точка $x$ отображается в точку $p(x)$, то любая $k$-форма (вообще, любая функция) $\omega$ на касательном пространстве $T_{p(x)}$ переводится в форму $p^\ast\omega$ на $T_x$ по правилу $$p^\ast\omega(\xi_1,\ldots,\xi_k)=\omega(p'(x)\xi_1,\ldots,p'(x)\xi_k)$$ для любых $\xi_1,\ldots,\xi_k\in T_x$. В алгебре это называют сопряженным оператором.

-- Вт июн 11, 2019 17:00:46 --

Munin в сообщении #1398786 писал(а):
Ну, это "не настоящая" теорема Брауэра, вроде бы, а её гладкая версия

Да, конечно, надо сказать слова про аппроксимацию непрерывного отображения гладким. В той теме это было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Вот-вот, этот pullback я раз тридцать пытался разобрать по википедии, и неудачно. В каком учебнике про него прочитать?

-- 11.06.2019 16:28:29 --

В частности, каковы правила взаимодействия pullback-а с внешним произведением и с дифференциалом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 17:03 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Они перестановочны. Пулбэк от внешнего произведения есть внешнее произведение пулбэков, пулбэк от внешнего дифференциала есть внешний дифференциал пулбэка. Первое утверждение чисто алгебраическое, второе проверяется вычислением в координатах. (Хотя, наверное, можно и бескоодинатно. В Картан Дифференциальное исчисление можно глянуть. Там все в бескоординатной форме в нормированных пространствах)

-- Вт июн 11, 2019 18:03:46 --

Munin в сообщении #1398796 писал(а):
В каком учебнике про него прочитать?

Ну, например, Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Это трёхтомник. Можно ткнуть пальцем конкретнее? :-)

-- 11.06.2019 19:16:57 --

Двух Картанов, оказывается, не надо путать. Отец Эли, сын Анри.

-- 11.06.2019 19:20:36 --

А зачем у этого pullback-а такая странная нотация? Если записать $\omega\circ p,$ то получится обычная запись композиции, не "задом наперёд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 19:59 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
А. Картан Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Посмотрите страницу 216 (2.8. Замена переменных в дифференциальных формах) и её окрестности. Очень мне нравится бескоординатное изложение дифф. форм у Картана. Прямо эстетическое наслаждение.
В Дубровине, Новикове, Фоменко Том 1, Глава 3 $\S$ 22 Поведение тензоров при отображениях

-- Вт июн 11, 2019 21:01:12 --

Munin в сообщении #1398820 писал(а):
Если записать $\omega\circ p,$ то получится обычная запись композиции

Если $\omega$ - 0-форма, т.е. скалярная функция, то так оно и есть.

-- Вт июн 11, 2019 21:05:59 --

Вот смотрите, есть линейный оператор $A\colon X\to Y$ между векторными пространствами. Сопряженный оператор $A^\ast\colon Y^\ast\to X^\ast$ продолжается до отображения ковариантных тензоров (т.к. они есть тензорное произведение линейных функционалов). Пуллбэк делает то же самое в каждой точке $x$ нашего многообразия. При этом $X=T_x$, $Y=T_{p(x)}$, $A=p'(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Ага, спасибо за уточнённые ссылки!

Padawan в сообщении #1398830 писал(а):
Если $\omega$ - 0-форма, т.е. скалярная функция, то так оно и есть.

Да вроде, и для любой $k$-формы так и есть? Ведь $k$-форма - это просто функция на исходном многообразии (на внешней степени касательного расслоения, но это мелочи). В общем, непонятно, зачем делать обозначение, ломающее интуицию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 20:37 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Потому что формально композиция $\omega\circ p$ не определена. Ну, конечно, если мы напишем $\omega\circ P$, подразумевая под $P$ продолжение $p$ на касательное расслоение $TM$, и даже на все тензорное расслоение $T^{\infty,\infty} M$ (думаю, понятно. Не знаю, как правильно написать), то да, можно так обозначить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение11.06.2019, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
В общем, ясно, что нужно какое-то новое обозначение. Но его можно было сделать "похожим на композицию", и это было бы наглядно. А тут сделано ровно наоборот, и я хочу понять, какие мотивы были у этого?

Впрочем, у Картана есть вариант ответа: $\varphi^\ast\omega=\varphi^\ast(\omega).$ Это меня несколько примиряет, хотя и не полностью.

-- 11.06.2019 23:23:22 --

Собственно, я разобрался достаточно, чтобы прочитать оба доказательства. Спасибо!

-- 11.06.2019 23:53:06 --

Пометка для себя: ещё pullback сохраняет ранг формы.

-- 11.06.2019 23:57:29 --

И вообще, Картан замечательный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
795
матмех спбгу
Munin в сообщении #1398861 писал(а):
какие мотивы были у этого?

Мотивы функториальные :-)
В математике часто встречается, что объектам одного типа (=одной категории) сопоставляются объекты другого типа (=другой категории). Например, топологическому пространству сопоставляется кольцо непрерывных функций на нем или гладкому многообразию сопоставляется касательное расслоение (тоже гладкое многообразие). При этом также возникает естественное сопоставление между морфизмами (стрелками) в соответствующих категориях. Так всякому непрерывному отображению $f \colon X \to Y$ топологических пространств соответствует гомоморфизм колец $f^{*} \colon C(Y) \to C(X)$, где $f^{*}(\varphi):=\varphi \circ f$ для $\varphi \in C(Y)$, а всякому гладкому отображению $f \colon M \to N$ гладких многообразий соответствует отображение $f_{*} \colon TM \to TN$, которое, как Вы знаете, есть дифференциал. Ну и еще легко видеть, что относительно композиции морфизмов также все хорошо. Вот такое сопоставление между категориями называется функтором. В приведенных примерах видно, что в первом случае стрелке $X \to Y$ соответствовала стрелка "в другом направлении" $C(Y) \to C(X)$ (т. е. функции "едут" справа-налево). Такой функтор называется контравариантным. А во втором примере прямой стрелке соответствовала также прямая стрелка. Соответствующий функтор называется ковариантным. Отсюда и обозначения $f^{*}$ и $f_{*}$. Только стоит лишь помнить о путанице здесь возникающей: по этой терминологии функтор, сопоставляющий линейному пространству его сопряженное (т. е. пространству векторов пространство ковекторов), называется контравариантным. Ну и соответствующая несостыковка происходит со всеми двойственными объектами. Еще одним примером контравариантного функтора, который здесь обсуждается, является алгебра дифференциальных форм на гладком многообразии.

Еще примеры ковариантных функторов: топологическое пространство $\to$ фундаментальная группа (тут чуть аккуратней надо); измеримое пространство $\to$ пространство мер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
demolishka в сообщении #1398870 писал(а):
Так всякому непрерывному отображению $f \colon X \to Y$ топологических пространств соответствует гомоморфизм колец $f^{*} \colon C(Y) \to C(X)$, где $f^{*}(\varphi):=\varphi \circ f$ для $\varphi \in C(Y)$, а всякому гладкому отображению $f \colon M \to N$ гладких многообразий соответствует отображение $f_{*} \colon TM \to TN$, которое, как Вы знаете, есть дифференциал.

Вот тут уже легко запутаться, потому что в одном случае стрелочка разворачивается, а в другом - нет.

demolishka в сообщении #1398870 писал(а):
Еще одним примером контравариантного функтора, который здесь обсуждается, является алгебра дифференциальных форм на гладком многообразии.

А из чего он "бьёт"?

demolishka в сообщении #1398870 писал(а):
Еще примеры ковариантных функторов: топологическое пространство $\to$ фундаментальная группа (тут чуть аккуратней надо)

А в группы гомотопий, гомологий, когомологий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 05:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
795
матмех спбгу
Munin в сообщении #1398887 писал(а):
Вот тут уже легко запутаться

Вот, чтобы не путаться, придумали писать звездочки. На какой объект действует $f^{*}$ (например, на ковекторы, функции или дифференциальные формы) или $f_{*}$ (касательные векторы или меры) обычно ясно из контекста.

Munin в сообщении #1398887 писал(а):
А из чего он "бьёт"?

Гладкому многообразию $M$ сопоставляется алгебра дифференциальных форм $\Omega(M)$ на нем. Тогда каждому отображению $f \colon M \to N$ гладких многообразий соответствует гомоморфизм алгебр $f^{*} \colon \Omega(N) \to \Omega(M)$. Он называется pullback'ом ровно потому, что дифф. формы едут справа налево.

Munin в сообщении #1398887 писал(а):
гомотопий, гомологий, когомологий?

Это тоже примеры. Только функтор когомологий (я знаю только де Рамовские) контравариантный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще одно доказательство теоремы Брауэра
Сообщение12.06.2019, 06:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
А, понятно! Звёздочка там, где в индексной нотации стоит "сворачивающий индекс". Правда, это не очень хорошо, потому что она ничего не сворачивает. Ну хоть что-то.

Спасибо за объяснения!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group