Два диофантова уравнения

[scwec]

Докажите, что для любого целого $N$ уравнение $\dfrac{x^3+yz^2}{y^3+xz^2}=N$ имеет решения в целых числах $x,y,z$.
Та же задача для уравнения $\dfrac{x^3+2yz^2}{y^3+2xz^2}=N$.

[nnosipov]

Напишу только про первое уравнение (со вторым, наверное, можно поступить аналогично). Фактически нужно на эллиптической кривой $x^3+y=N(y^3+x)$ найти "нетривиальную" рациональную точку. "Тривиальные" точки --- это $(0,0)$ и $\pm(1,-1)$, они лежат на одной прямой. Но (посмотрев на картинку, спасибо пакету algcurves из Maple) можно увидеть, что касательная, проведенная в точке $(-1,1)$, пересекает кривую в новой точке. Осталось только ее вычислить:

$$ (x,y)=\left(2\,{\frac {-1+10\,N+4\,{N}^{3}-{N}^{2}}{{N}^{3}+17\,{N}^{2}-17\,N-1}},-2\,{\frac {-4+N-10\,{N}^{2}+{N}^{3}}{{N}^{3}+17\,{N}^{2}-17\,N-1}}\right). $$

[scwec]

nnosipov, рад общаться с Вами. Ответ для первого уравнения верный и подход тот, что надо.
Со вторым уравнением ситуация несколько иная. "Тривиальных точек" только одна $(0,0)$ и, хотя ответ более простой, чем в первой задаче, требуется чуть более тонкий подход для его нахождения. Попробуйте найти ответ, если есть охота.
Если рассмотреть уравнение с $3$ вместо $2$, то утверждение о наличии целых решений для любого $N$ становится неверным.
Например, для $N=2$ уравнение $\dfrac{x^3+3yz^2}{y^3+3xz^2}=2$ не имеет целых решений.
Предлагается это доказать.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1397255 писал(а):

требуется чуть более тонкий подход для его нахождения

Уже понял, подумаю.

Недавно мне как раз пришлось решать подобную задачу. А именно, для кривой

$$ x(Ax^2+Bxy+Cy^2)+a_1x^2+a_2xy+a_4x+a_5y+a_6=0 $$

в случае, когда $\Delta=B^2-4AC$ есть точный квадрат, искать "очевидные" рациональные точки. Там помогла бесконечно удаленная точка.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1397255 писал(а):

Например, для $N=2$ уравнение $\dfrac{x^3+3yz^2}{y^3+3xz^2}=2$ не имеет целых решений. Предлагается это доказать.

Пока только идею доказательства, так как нет времени. Перейдя к проективным координатам получим уравнение:
$x^3-6x+3y-2y^3=0$. Надо доказать, что оно не имеет нетривиальных рациональных решений.
Будем решать уравнение относительно $x$. Данное уравнение может иметь:
1. Один действительный корень - $c$ и два комплексно сопряженных - $a+bi,a-bi$.
2. Три действительных корня - $d,e,f$.
Далее, используя формулы Виета, надо доказать отсутствие нетривиальных рациональных решений.

[scwec]

Можно пробовать решать и так.
А можно (для меня это самый простой вариант) привести уравнение, написанное Вами, к Вейерштрассову виду
$w^2=u^3-108u+918$ и убедиться доступными методами в отсутствии у него рациональных решений.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1397456 писал(а):

Перейдя к проективным координатам получим уравнение:
$x^3-6x+3y-2y^3=0$.

Это называется аффинные координаты, проективные (или однородные) координаты есть как раз в исходном уравнении.

vicvolf в сообщении #1397456 писал(а):

Далее, используя формулы Виета, надо доказать отсутствие нетривиальных рациональных решений.

Как именно собираетесь доказывать? Вообще, доказательство отсутствия рациональных точек на эллиптической кривой (или, в более общем виде, доказательство того, что ранг этой кривой равен нулю) --- дело всегда непростое. Обычно элементарное рассуждение такого типа использует бесконечный спуск, что само по себе уже нетривиально.

scwec в сообщении #1397493 писал(а):

доступными методами

Имеется в виду применение систем компьютерной алгебры типа PARI? Здесь интересно было бы воспроизвести (на конкретном примере) реализованные там алгоритмы "руками", чтобы посмотреть как они работают. В статье
Netay I.V., Savvateev A.V. Sharygin triangles and elliptic curves // Bull. Korean Math. Soc. 2017. V. 54. № 5. P. 1597-1617.
приводится пример такого доказательства (правда, там кривая имеет ранг 1, это более сложная ситуация). На этом примере можно увидеть, с помощью какого математического аппарата достигается успех. Конечно, в случае кривой ранга 0 можно ожидать упрощения рассуждений. Вот и было бы интересно увидеть, насколько это упрощение окажется существенным.

[scwec]

nnosipov, предложение о вычислении ранга эллиптической кривой элементарными методами на конкретном примере высказывалось Вами ещё 7 лет назад и тогда же мной это пожелание было реализовано https://dxdy.ru/topic62475.html Впоследствии были аналогичные запросы от других участников форума и я направлял их по этой же ссылке.
Сейчас,не имея достаточно времени на новую кропотливую работу, снова отсылаю к прежнему тексту, другого под рукой всё равно нет.
Должен сказать, что владея PARI и тому подобными вещами, можно решать конкретные задачи для эллиптических кривых в определённых числовых диапазонах, и вспомогательную роль в решениях они (PARI и т.п.) выполнять могут.
Однако, при наличии параметров в уравнениях и других неприятностей, приходится придумывать свои методы, которые используют PARI, MAGMA, Mapl, которые как бы остаются за кадром.
В данном случае, имеем уравнение $w^2=u^3-108u+918$ без хитростей, и, думаю, применения PARI для вычисления рациональных точек кручения и ранга кривой вполне достаточно.
Да, чуть не забыл, решений второго уравнения пока нет, а их ведь, как и решений первого уравнения, бесконечное число.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1397538 писал(а):

предложение о вычислении ранга эллиптической кривой элементарными методами на конкретном примере высказывалось Вами ещё 7 лет назад и тогда же мной это пожелание было реализовано topic62475.html.

Это может быть основано только на теореме Лутц-Нагеля? Или требуются еще какие-то факты? Как-то все равно не очень элементарно, поскольку доказательство упомянутой теоремы довольно непростое (судя по Silverman's book, если я, конечно, не путаю).

Вообще, есть две задачи: 1) вычислить ранг; 2) найти базис. Понятно, что вторая задача сложная (см. пример в цитированной выше статье). Верно ли, что первая задача существенно проще?

scwec в сообщении #1397538 писал(а):

Да, чуть не забыл, решений второго уравнения пока нет

У меня нет идей, увы. Видимо, какие-то хитрые тождества. Есть ли здесь хоть какие-то стандартные приемы? Хотелось бы узнать.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1397541 писал(а):

Это может быть основано только на теореме Лутц-Нагеля?

Лутц-Нагель в тексте 2012 года нужен только для вычисления рациональных точек конечного порядка и это стандартно.
А ранг там же считается по методике, изложенной у Силвермана и Тэйта. Насколько всё это элементарно, ну, наверное, не очень. Хотя как посмотреть. Никакого заумного аппарата там не применяется.
Судя по методике, ранг считать проще, ведь если он не нулевой, рациональных точек бесконечно много и они рациональной параметризации не подлежат, а если ещё ранг больше 1, нужно различать ветви. Хотя там тоже бывают всякие обстоятельства.

nnosipov в сообщении #1397541 писал(а):

Есть ли здесь хоть какие-то стандартные приемы?

Если решения второго уравнения никто не придумает, изложу своё. Но там всё делается стандартно, кроме одного момента. Вы вполне можете это реализовать.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1397575 писал(а):

А ранг там же считается по методике, изложенной у Силвермана и Тэйта.

Да, спасибо, я перечитал ту тему. В общем, я за то, чтобы было побольше популярных текстов на этот сюжет (как вычислить ранг, как найти базисные точки, как с помощью базисных точек искать целые точки). Похоже, таких изложений (с хорошо разжеванными конкретными примерами) просто нет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1397526 писал(а):

vicvolf в сообщении #1397456 писал(а):

Перейдя к проективным координатам получим уравнение:
$x^3-6x+3y-2y^3=0$.

Это называется аффинные координаты, проективные (или однородные) координаты есть как раз в исходном уравнении.

Я имел в виду координаты на проективной плоскости, да - они называются аффинными.

[scwec]

scwec в сообщении #1397575 писал(а):

Если решения второго уравнения никто не придумает, изложу своё.

Один из возможных вариантов.
Находим рациональные точки на семействе кривых $X^3+2Y-NY^3-2NX=0$.
Приводим его с помощью Mapl к семейству кривых в Вейерштрассовом виде $E_N: w^2=u^3-12N^2{u}+8(N^5+N)\qquad(1)$,
где $X=\dfrac{2wu-4wN^3}{8N+8N^5-12uN^2+u^3}, Y=\dfrac{-4w+2wuN}{8N+8N^5-12uN^2+u^3}\qquad(2)$ (формулы бесплатные из Mapl).
Теперь находим целые точки на кривых семейства $E_N$ с помощью Magma
$E_2$ - 18 целых точек, среди них $(1,\pm{15})$
$E_3$ - две целые точки $(4,\pm{40})$
$E_4$ - две целые точки $(9,\pm{85})$
$E_5$ - две целые точки $(16,\pm{156})$
$E_6$ -четыре целые точки, среди них $(25,\pm{259})$
$E_7$ - две целые точки $(36,\pm{400})$
Наверное, достаточно, чтобы проверить, превращает ли $u=(N-1)^2$ правую часть уравнения $(1)$ в полный квадрат.
Да, превращает, и при этом $w=\pm(1+N+N^2+N^3)$.
Подставляя $u,w$ в формулы $(2)$ получаем
$X=-\dfrac{2(2N-1)}{N+1}, Y=\dfrac{2(N-2)}{N+1}$
и решение исходного второго уравнения в целых числах: $x=-2(2N-1), y=2(N-2),z=N+1$

[nnosipov]

scwec
Другой вариант --- это искать $x$ и $y$ в виде дробно-линейных выражений относительно $N$ с неопределенными коэффициентами:

$$ x=\frac{aN+b}{cN+d}, \quad y=\frac{eN+f}{cN+d}. $$

На неизвестные коэффициенты составляется система уравнений, Maple с ней справляется (даже без привлечения "тяжелой артиллерии" в виде пакета Groebner). A priori непонятно, будут ли у этой системы рациональные решения, а проверять мне было откровенно лень. Сейчас не поленился, проверил --- действительно, на этом пути решение задачи находится довольно быстро. Ваш вариант более изощренный (используются более тонкие технические средства), но в принципе он в том же стиле "Угадай мелодию". Все это как-то безыдейно, так как рассчитано на голую удачу. Хотелось бы иметь здесь какую-то теорию, которая позволила бы заранее выяснить, есть ли у уравнения $x^3+2y=N(y^3+2x)$ решения в рациональных функциях от $N$ (а для уравнения $x^3+3y=N(y^3+3x)$ доказать, что таких решений нет). Что-нибудь типа теории, которая есть для уравнений Пелля-Абеля.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1398519 писал(а):

Хотелось бы иметь здесь какую-то теорию, которая позволила бы заранее выяснить, есть ли у уравнения $x^3+2y=N(y^3+2x)$ решения в рациональных функциях от $N$ (а для уравнения $x^3+3y=N(y^3+3x)$ доказать, что таких решений нет).

Рассмотрим уравнение $x^3+py=N(y^3+px)$. По доказанному выше оно имеет решение в рациональных функциях от $N$ для $p=1\cdot{k^2}$ и $p=2\cdot{k^2}$ и, похоже, что это всё. Так это или не так, надо внимательно посмотреть.
Что касается общей теории решения подобных задач, не хочу делать преждевременных выводов.
Ей ещё предстоит превратиться из алхимии в химию. А пока мы имеем "устрашающий формальный аппарат" (Арнольд) и трудности практической реализации.
Тут нужно выбирать - "или ехать, или шашечки"