nnosipov, предложение о вычислении ранга эллиптической кривой элементарными методами на конкретном примере высказывалось Вами ещё 7 лет назад и тогда же мной это пожелание было реализовано
https://dxdy.ru/topic62475.html Впоследствии были аналогичные запросы от других участников форума и я направлял их по этой же ссылке.
Сейчас,не имея достаточно времени на новую кропотливую работу, снова отсылаю к прежнему тексту, другого под рукой всё равно нет.
Должен сказать, что владея PARI и тому подобными вещами, можно решать конкретные задачи для эллиптических кривых в определённых числовых диапазонах, и вспомогательную роль в решениях они (PARI и т.п.) выполнять могут.
Однако, при наличии параметров в уравнениях и других неприятностей, приходится придумывать свои методы, которые используют PARI, MAGMA, Mapl, которые как бы остаются за кадром.
В данном случае, имеем уравнение
![$w^2=u^3-108u+918$ $w^2=u^3-108u+918$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/b/35b0115557d7ef39aae87049e9ee37fc82.png)
без хитростей, и, думаю, применения PARI для вычисления рациональных точек кручения и ранга кривой вполне достаточно.
Да, чуть не забыл, решений второго уравнения пока нет, а их ведь, как и решений первого уравнения, бесконечное число.
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)