Два диофантова уравнения

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1397526 писал(а):

vicvolf в
url=http://dxdy.ru/post1397456.html#p1397456]сообщении #1397456[/url] писал(а):

Далее, используя формулы Виета, надо доказать отсутствие нетривиальных рациональных решений.

Как именно собираетесь доказывать? Вообще, доказательство отсутствия рациональных точек на эллиптической кривой (или, в более общем виде, доказательство того, что ранг этой кривой равен нулю) --- дело всегда непростое. Обычно элементарное рассуждение такого типа использует бесконечный спуск, что само по себе уже нетривиально.

Как я понял с элементарными методами - проблема! Поэтому покажу на данном уравнении, как с формулами Виета.
$x^3-6x+3y-2y^3=0$. Надо доказать, что данное уравнение не имеет нетривиальных рациональных решений.
Будем решать уравнение относительно $x$. Данное уравнение может иметь:
1. Один действительный корень - $c$ и два комплексно сопряженных - $a+bi,a-bi$.
2. Три действительных корня - $d,e,f$.
Рассмотрим 1 случай. Сумма корней: $c+a+bi+a-bi=c+2a=0$, поэтому $c=-2a$.
Сумма попарных произведений корней: $c(a+bi)+c(a-bi)+(a+bi)(a-bi=2ac+a^2+b^2=-6$, поэтому $a=+-\sqrt {b^2/3+2}$.
Используя первое уравнение получим : $c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$. Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом, поэтому $c$ - иррационально.
Аналогично рассматривается 2 случай.

[Shadow]

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):

Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом

А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):

Как я понял с элементарными методами - проблема!

Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения. С очевидным результатом.

Shadow в сообщении #1398640 писал(а):

Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.

Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

[Someone]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):

$a=+-\sqrt {b^2/3+2}$

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):

$c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$

Даже удивительно: за семь лет так и не удосужиться заглянуть в тему FAQ по тегу [mаth], чтобы посмотреть, как же кодируются символы "$\pm$" и "$\mp$"…

[vicvolf]

Shadow в сообщении #1398640 писал(а):

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):

Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом

А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?

Согласен, $b$ может быть иррациональным.

Цитата:

Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.

Аналогично анализируется уравнение относительно $y$ - $c(a+bi)(a-bi)=c(a^2+b^2)=3y-2y^3$.

-- 10.06.2019, 16:12 --

nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):

Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения.

Я и пытался найти элементарные методы...

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):

Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

Конечно, но не в $y$ дело, а в свободном члене полинома от $x$. "Противоречие" был найдено при рассмотрении только $x_1+x_2+x_3$ и $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$
Дело вообще не дошло до $x_1x_2x_3$, тоетсь, при любой свободный член полином не имеет рациональных корней, что конечно полная ерунда и это должно насторожить автора.

[vicvolf]

Shadow в сообщении #1398640 писал(а):

Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???

Если $x$-иррационально, то решение иррационально независимо от $y$.

[scwec]

vicvolf, Вами доказано только, что если $3b^2+18$ не является полным квадратом, то рациональных решений у рассматриваемого уравнения нет. И всё.
Так что решения задачи таким методом Вам пока получить не удалось.

[vicvolf]

scwecнадо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

[scwec]

vicvolf в сообщении #1398900 писал(а):

надо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1398922 писал(а):

В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.

Вот я тоже хотел что-то подобное написать, так что присоединяюсь. Ждем реализации озвученных заявленных намерений.

Вообще, отсутствие любых (как нетривиальных, так и тривиальных) рациональных точек на эллиптической кривой иногда можно доказать совсем просто --- рассматривая уравнение кривой по подходящему модулю. Пример: кривая, заданная уравнением $x^3+2y^3+4=0$. Но в случае с кривой $x^3-6x+3y-2y^3=0$ этот метод заведомо не годится, так как здесь есть тривиальная рациональная точка $(0,0)$. Самые простые примеры эллиптических кривых, имеющих только тривиальные рациональные точки (более точно: эллиптических кривых ранга ноль, но с непустым множеством рациональных точек) --- это, по-видимому, $y^2=x^3-x$ или $x^3+y^3=1$. Утверждение об отсутствии нетривиальных рациональных точек на этих кривых эквивалентно ВТФ для показателей 4 и 3 соответственно. Как известно, самое простое доказательство ВТФ для этих показателей апеллирует к бесконечному спуску. Как тут могут оказаться полезными формулы Виета --- загадка. (Подозреваю, что никак.)