2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 03:51 


14/08/12
156
Если я правильно понял, двухмерный тор может иметь нулевую кривизну:
\left\{
\begin{matrix}
x^2+y^2 = 1 \\
z^2+t^2 = 1 \\
\end{matrix}
\right.

Возможен ли трёхмерный тор с нулевой кривизной?
Если возможен, то каковы его уравнения в евклидовых координатах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 04:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Для любого тора $(S^1)^n$ вы можете взять $2n$-мерное пространство и систему уравнений $x_{2k-1}^2+x_{2k}^2=1.$

И вообще для любого произведения сфер $\prod S^{d_k}$ очевидно пишется система уравнений вида $\forall\,k\quad\sum_{i=1}^{d_k+1} x_{k,i}^2=1,$ где все $x_{k,i}$ - различные координаты в достаточном количестве.

-- 02.06.2019 04:38:00 --

А вот если у квадрата склеить стороны другими способами, то получатся бутылка Клейна и проективная плоскость. Интересно, можно ли их вложить в какое-то пространство с нулевой кривизной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 13:26 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Munin в сообщении #1397231 писал(а):
А вот если у квадрата склеить стороны другими способами, то получатся бутылка Клейна и проективная плоскость. Интересно, можно ли их вложить в какое-то пространство с нулевой кривизной.
Эйлерова характеристика связой суммы $g$ торов равна $2-2g$, а $g$ проективных плоскостей $2-g$. Поэтому метрик нулевой кривизны не баывает ни на каких связных компактных поверхностях, кроме тора и бутылки Клейна, по теореме Гаусса -- Бонне: интеграл от гауссовой кривизны, делённой на $2\pi$, равен эйлеровой характеристике. (По ссылке написано, как будто гауссова кривизна есть скаляр, а для интегрирования её умножают на форму площади, так что это как будто только про ориентируемые поверности. На самом деле гауссову кривизну можно определить в терминах внутренней геометрии, и это будет не скаляр, а 2-форма, линейно выражающаяся через кривизну, и теорема Гаусса -- Бонне верна для неориентируемых поверхностей тоже.)

На бутылке Клейна метрика нулевой кривизны есть: приходит с этого самого квадратика. Вложить тоже можно, хотя бы по теореме Нэша о вложении: любое риманово многообразие изометрически вкладывается в стандартное евклидово пространство достаточно большой размерности. Хотя это из пушки по воробьям, скорее всего, вложение несложно написать явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):
Поэтому метрик нулевой кривизны не баывает ни на каких связных компактных поверхностях, кроме тора и бутылки Клейна, по теореме Гаусса -- Бонне

Спасибо!

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):
скорее всего, вложение несложно написать явно.

Вот это было бы интересно.

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):
На бутылке Клейна метрика нулевой кривизны есть: приходит с этого самого квадратика.

Тут есть проблема в рассуждении. Проективную плоскость тоже можно склеить из квадратика. (И сферу тоже, кстати, только клеить придётся не противоположные, а смежные стороны.) Но теорема Гаусса-Бонне! Дело в том, что уголки квадратика после склейки оказываются особенностями, в которых сосредоточена кривизна. Так что, напрямую утверждать процитированное утверждение нельзя, не проанализировав уголков квадратика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 16:15 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):
На самом деле гауссову кривизну можно определить в терминах внутренней геометрии, и это будет не скаляр, а 2-форма
Прошу прощения, это неправда. Но теорема Гаусса -- Бонне для неориентируемых поверхностей всё-таки верна, только интегрируется там не форма, а плотность.

Munin в сообщении #1397293 писал(а):
Тут есть проблема в рассуждении.
Это было не рассуждение, а бездоказательное утверждение. Но проблема действительно есть: метрика с внутренности многоугольника не обязана, вообще говоря, продолжаться до метрики на всей поверхности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
    Изображение

Сверху вниз:
  • тор;     одна вершина, угловой дефект 0;
  • бутылка Клейна;     одна вершина, угловой дефект 0;
  • проективная плоскость;     две вершины, угловые дефекты $\pi$ и $\pi$;
  • сфера;     три вершины, угловые дефекты $3\pi/2,$ $\pi$ и $3\pi/2$;
  • проективная плоскость;     две вершины, угловые дефекты $\pi/2$ и $3\pi/2$;
  • бутылка Клейна;     одна вершина, угловой дефект 0.
      (склеенная из двух кросс-кэпов = "плёнок" = проективных плоскостей с краем = листов Мёбиуса)
Тильдой я обозначил "переворот" уголка по сравнению с положением в квадратике; на четвёртой и пятой картинках $a=\tilde{a}$ (на 4-й) и $c=\tilde{c}.$

-- 02.06.2019 16:44:38 --

Slav-27 в сообщении #1397302 писал(а):
Прошу прощения, это неправда. Но теорема Гаусса -- Бонне для неориентируемых поверхностей всё-таки верна, только интегрируется там не форма, а плотность.

Оба утверждения верны: на 2-мерном многообразии 2-форма и есть плотность.

-- 02.06.2019 17:03:17 --

(Аналогичным методом можно анализировать склейку любого $2n$-угольника, которая используется в классификации 2-мерных многообразий.)

-- 02.06.2019 17:07:19 --

Кстати, тильды я сначала добавил для красоты, "чтобы было", чтобы читатель не путался в рисунках. А теперь вижу, что если тильды соседствуют в вершинах с нетильдами, то поверхность неориентируемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение02.06.2019, 18:26 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Munin в сообщении #1397309 писал(а):
Оба утверждения верны:
Нет, моё утверждение, которое я зачеркнул, было неверно. Предположим, на проективной плоскости фиксирована метрика. Формы площади у неё нет (потому что неориентируема). Но площадь любой разумной фигуры на проективной плоскости (любого 2-мерного гладкого подмногообразия с краем) измерить можно.

-- 02.06.2019, 19:39 --

И проинтегрировать любую скалярную функцию тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение05.06.2019, 06:18 


14/08/12
156
Значит, если взять обычный шестигранный трёхмерный куб, то можно в шестимерном евклидовом пространстве склеить у него противоположные грани и получить трёхмерный тор - замкнутое трёхмерное пространство с нулевой кривизной. Возможно ли аналогичное сделать с додекаэдром и что тогда получится? Может, в 12-мерном пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение05.06.2019, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Увы, с додекаэдром так не получится. Если вы возьмёте двугранные и трёхгранные углы додекаэдра, то увидите, что они не складываются в полные углы. Поэтому, додекаэдру необходимо придать кривизну. С другой стороны, это можно сделать весьма симметрично - "надуть равномерно" додекаэдр как сегмент гиперсферы, и после этого всё можно склеить с гладким результатом. Один из способов такой склейки называется "пространство Пуанкаре" (Poincaré homology sphere, Poincaré dodecahedral space). К слову сказать, он неориентируемый (то есть больше похож на бутылку Клейна, чем на тор). В сколькимерное евклидово пространство его можно изометрически вложить, я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение05.06.2019, 15:28 


14/08/12
156
Значит, из платоновых тел только куб можно склеить в замкнутое пространство с нулевой кривизной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение05.06.2019, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А вы все остальные перепробовали? Вы назвали только куб и додекаэдр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трёхмерный тор с нулевой кривизной
Сообщение05.06.2019, 21:03 


14/08/12
156
Насчёт остальных не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group