Трёхмерный тор с нулевой кривизной

[denis_73]

Если я правильно понял, двухмерный тор может иметь нулевую кривизну:
\left\{ \begin{matrix} x^2+y^2 = 1 \\ z^2+t^2 = 1 \\ \end{matrix} \right.

Возможен ли трёхмерный тор с нулевой кривизной?
Если возможен, то каковы его уравнения в евклидовых координатах?

[Munin]

Для любого тора $(S^1)^n$ вы можете взять $2n$-мерное пространство и систему уравнений $x_{2k-1}^2+x_{2k}^2=1.$

И вообще для любого произведения сфер $\prod S^{d_k}$ очевидно пишется система уравнений вида $\forall\,k\quad\sum_{i=1}^{d_k+1} x_{k,i}^2=1,$ где все $x_{k,i}$ - различные координаты в достаточном количестве.

-- 02.06.2019 04:38:00 --

А вот если у квадрата склеить стороны другими способами, то получатся бутылка Клейна и проективная плоскость. Интересно, можно ли их вложить в какое-то пространство с нулевой кривизной.

[Slav-27]

Munin в сообщении #1397231 писал(а):

А вот если у квадрата склеить стороны другими способами, то получатся бутылка Клейна и проективная плоскость. Интересно, можно ли их вложить в какое-то пространство с нулевой кривизной.

Эйлерова характеристика связой суммы $g$ торов равна $2-2g$, а $g$ проективных плоскостей $2-g$. Поэтому метрик нулевой кривизны не баывает ни на каких связных компактных поверхностях, кроме тора и бутылки Клейна, по теореме Гаусса -- Бонне: интеграл от гауссовой кривизны, делённой на $2\pi$, равен эйлеровой характеристике. (По ссылке написано, как будто гауссова кривизна есть скаляр, а для интегрирования её умножают на форму площади, так что это как будто только про ориентируемые поверности. На самом деле гауссову кривизну можно определить в терминах внутренней геометрии, и это будет не скаляр, а 2-форма, линейно выражающаяся через кривизну, и теорема Гаусса -- Бонне верна для неориентируемых поверхностей тоже.)

На бутылке Клейна метрика нулевой кривизны есть: приходит с этого самого квадратика. Вложить тоже можно, хотя бы по теореме Нэша о вложении: любое риманово многообразие изометрически вкладывается в стандартное евклидово пространство достаточно большой размерности. Хотя это из пушки по воробьям, скорее всего, вложение несложно написать явно.

[Munin]

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):

Поэтому метрик нулевой кривизны не баывает ни на каких связных компактных поверхностях, кроме тора и бутылки Клейна, по теореме Гаусса -- Бонне

Спасибо!

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):

скорее всего, вложение несложно написать явно.

Вот это было бы интересно.

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):

На бутылке Клейна метрика нулевой кривизны есть: приходит с этого самого квадратика.

Тут есть проблема в рассуждении. Проективную плоскость тоже можно склеить из квадратика. (И сферу тоже, кстати, только клеить придётся не противоположные, а смежные стороны.) Но теорема Гаусса-Бонне! Дело в том, что уголки квадратика после склейки оказываются особенностями, в которых сосредоточена кривизна. Так что, напрямую утверждать процитированное утверждение нельзя, не проанализировав уголков квадратика.

[Slav-27]

Slav-27 в сообщении #1397273 писал(а):

На самом деле гауссову кривизну можно определить в терминах внутренней геометрии, и это будет не скаляр, а 2-форма

Прошу прощения, это неправда. Но теорема Гаусса -- Бонне для неориентируемых поверхностей всё-таки верна, только интегрируется там не форма, а плотность.

Munin в сообщении #1397293 писал(а):

Тут есть проблема в рассуждении.

Это было не рассуждение, а бездоказательное утверждение. Но проблема действительно есть: метрика с внутренности многоугольника не обязана, вообще говоря, продолжаться до метрики на всей поверхности.

[Munin]

Сверху вниз:

• тор;     одна вершина, угловой дефект 0;
• бутылка Клейна;     одна вершина, угловой дефект 0;
• проективная плоскость;     две вершины, угловые дефекты $\pi$ и $\pi$;
• сфера;     три вершины, угловые дефекты $3\pi/2,$ $\pi$ и $3\pi/2$;
• проективная плоскость;     две вершины, угловые дефекты $\pi/2$ и $3\pi/2$;
• бутылка Клейна;     одна вершина, угловой дефект 0.
  
  (склеенная из двух кросс-кэпов = "плёнок" = проективных плоскостей с краем = листов Мёбиуса)

Тильдой я обозначил "переворот" уголка по сравнению с положением в квадратике; на четвёртой и пятой картинках $a=\tilde{a}$ (на 4-й) и $c=\tilde{c}.$

-- 02.06.2019 16:44:38 --

Slav-27 в сообщении #1397302 писал(а):

Прошу прощения, это неправда. Но теорема Гаусса -- Бонне для неориентируемых поверхностей всё-таки верна, только интегрируется там не форма, а плотность.

Оба утверждения верны: на 2-мерном многообразии 2-форма и есть плотность.

-- 02.06.2019 17:03:17 --

(Аналогичным методом можно анализировать склейку любого $2n$-угольника, которая используется в классификации 2-мерных многообразий.)

-- 02.06.2019 17:07:19 --

Кстати, тильды я сначала добавил для красоты, "чтобы было", чтобы читатель не путался в рисунках. А теперь вижу, что если тильды соседствуют в вершинах с нетильдами, то поверхность неориентируемая.

[Slav-27]

Munin в сообщении #1397309 писал(а):

Оба утверждения верны:

Нет, моё утверждение, которое я зачеркнул, было неверно. Предположим, на проективной плоскости фиксирована метрика. Формы площади у неё нет (потому что неориентируема). Но площадь любой разумной фигуры на проективной плоскости (любого 2-мерного гладкого подмногообразия с краем) измерить можно.

-- 02.06.2019, 19:39 --

И проинтегрировать любую скалярную функцию тоже можно.

[denis_73]

Значит, если взять обычный шестигранный трёхмерный куб, то можно в шестимерном евклидовом пространстве склеить у него противоположные грани и получить трёхмерный тор - замкнутое трёхмерное пространство с нулевой кривизной. Возможно ли аналогичное сделать с додекаэдром и что тогда получится? Может, в 12-мерном пространстве?

[Munin]

Увы, с додекаэдром так не получится. Если вы возьмёте двугранные и трёхгранные углы додекаэдра, то увидите, что они не складываются в полные углы. Поэтому, додекаэдру необходимо придать кривизну. С другой стороны, это можно сделать весьма симметрично - "надуть равномерно" додекаэдр как сегмент гиперсферы, и после этого всё можно склеить с гладким результатом. Один из способов такой склейки называется "пространство Пуанкаре" (Poincaré homology sphere, Poincaré dodecahedral space). К слову сказать, он неориентируемый (то есть больше похож на бутылку Клейна, чем на тор). В сколькимерное евклидово пространство его можно изометрически вложить, я не знаю.

[denis_73]

Значит, из платоновых тел только куб можно склеить в замкнутое пространство с нулевой кривизной?

[Munin]

А вы все остальные перепробовали? Вы назвали только куб и додекаэдр.

[denis_73]

Насчёт остальных не знаю.