Определяем число взаимодействий между измерениями

[upgrade]

Проводим опыт с монеткой - если выпадает орел - к сумме какой бы она ни была добавляем $1$, если решка - ничего не добавляем.
Распределение сумм одного броска:
значение $0$ - вероятность $0,5$
значение $1$ - вероятность $0,5$
двух
значение $0$ - вероятность $0,25$
значение $1$ - вероятность $0,5$
значение $2$ - вероятность $0,25$

трех
значение $0$ - вероятность $0,12$
значение $1$ - вероятность $0,38$
значение $2$ - вероятность $0,38$
значение $3$ - вероятность $0,12$

и так далее.
Полагаю, что это можно записать так:
$P(S(n))=f(x_1)\ast f(x_2)\ast \dots \ast f(x_n)$,
где
$P(S(n))$ - распределение сумм шагов $i$ на шаге $n$
$f(x_i)$ - распределение шага $i$
Т.е. распределение суммы на $n$-м шаге случайного блуждания - это свёртки всех распределений шагов до $n$ включительно.
И таким образом, можно совершенно спокойно считать распределение сумм с любыми распределениями случайного блуждания от шага к шагу (в том числе с использованием Фурье и др и пр).

Далее.
Поскольку распределение итоговой суммы можно определить экспериментально (например, детектировать частицы на вылете из прибора и измерять расстояние на которое они отклонились) - можно рассчитать сколько взаимодействий претерпела частица пока летела от измерения к измерению - это число взаимодействий будет равно количеству операций свёртки, которые необходимы для получения итогового распределения.
Все правильно?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- не сформулирован предмет обсуждения;
- при чем тут физика?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Да, распределение суммы независимых величин - это свертка их распределений (а соответственно характеристическая функция - произведение характеристических функций).

Если итоговое распределение известно точно - то число взаимодействий можно определить просто как максимальное его значение. Если неточно - то это уже обычная задача об определении параметров распределения (в данном случае - биномиального).

[upgrade]

mihaild
Спасибо!

[Someone]

upgrade в сообщении #1397667 писал(а):

Поскольку распределение итоговой суммы можно определить экспериментально (например, детектировать частицы на вылете из прибора и измерять расстояние на которое они отклонились)

Какое отношение имеют какие-то частицы к бросаемым монетам?

upgrade в сообщении #1397667 писал(а):

можно рассчитать сколько взаимодействий претерпела частица пока летела от измерения к измерению

Каким образом бросаемые независимые монеты моделируют взаимодействие частиц?

[upgrade]

Someone в сообщении #1397774 писал(а):

Какое отношение имеют какие-то частицы к бросаемым монетам

Someone в сообщении #1397774 писал(а):

Каким образом бросаемые независимые монеты имеют к взаимодействию частиц?

Если частицу пыли пропускать сквозь воздух, она будет биться о молекулы воздуха, пролетев некоторое расстояние и попав в мишень оставит след на мишени, характер распределения этих следов расскажет нам о количестве соударений в процессе пролета частицы сквозь воздух, так как траектория движения частицы - это сумма отклонений этой частицы молекулами воздуха.

[arseniiv]

Хм, ну прикиньте сначала из физических соображений, сколько примерно соударений эта частица должна испытать в воздухе при н. у. за одну секунду, имея площадь… какая там бывает. Или почитайте про центральную предельную теорему (в частности результаты о скорости сходимости).

[upgrade]

arseniiv
Воздух можно откачать (не весь)

[arseniiv]

А, ну тогда вопрос о том, что вы собираетесь измерять.

[upgrade]

Ну, к примеру попробовать пристальнее взглянуть на распределение спектра от далеких звезд - а нет ли там чего интересного в этих распределениях.

-- 04.06.2019, 23:25 --

Хотя само по себе то, что нормальное распределение - это бесконечное число свёрток независимых с.в. уже интересно - получается, его можно вывести математически.

[Someone]

upgrade в сообщении #1397777 писал(а):

Если частицу пыли пропускать сквозь воздух, она будет биться о молекулы воздуха

Монеты в схеме Бернулли друг о друга не бьются.

upgrade в сообщении #1397777 писал(а):

характер распределения этих следов расскажет нам о количестве соударений в процессе пролета частицы сквозь воздух

Доказательство предъявите, пожалуйста.

upgrade в сообщении #1397777 писал(а):

траектория движения частицы - это сумма отклонений этой частицы молекулами воздуха

Вы когда-нибудь картинки с изображением траекторий броуновского движения видели?

-- Вт июн 04, 2019 23:51:49 --

upgrade в сообщении #1397802 писал(а):

получается, его можно вывести математически.

Учебники по теории вероятностей надо читать.

[mihaild]

upgrade в сообщении #1397802 писал(а):

получается, его можно вывести математически

Ну да, ЦПТ - это математический результат.

Пуанкаре писал(а):

Каждый уверен в справедливости нормального закона: экспериментаторы - потому, что они думают, что это математическая теорема; математики - потому, что они думают, что это экспериментальный факт.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1397802 писал(а):

Хотя само по себе то, что нормальное распределение - это бесконечное число свёрток независимых с.в. уже интересно - получается, его можно вывести математически.

Нормальное-то вывести? У него есть ещё несколько замечательных определяющих его свойств, в принципе даже связанных, и это совершенно не секрет.

[upgrade]

Someone в сообщении #1397805 писал(а):

Доказательство предъявите, пожалуйста.

Предположим, что частица (пыли) пролетает через объем воздуха, в котором всего одна молекула воздуха, движущаяся строго перпендикулярно полету частицы пыли с известной скоростью.
В этом случае на мишени мы увидим распределение, состоящее из двух областей - пятно в центре мишени и пятно в виде окружности на некотором расстоянии от центра.
Расстояние от центра будет зависеть от скорости частицы, а отношение числа частиц на окружности к выпущенному числу частиц - вероятность столкновения.
При этом, поскольку молекула воздуха всего одна, и скорость у нее всегда одна и таже, свертка будет выдавать два значения - нуль и единицу (если единицу сопоставим отклонению).
В данном случае есть две случайные величины - смещение частицы пыли на нуль и на единицу (из-за соударения с молекулой воздуха), которые получаются суммированием двух распределений - вероятностей того что в частица сместится после соударения с молекулой и не сместится (не было соударения) и вероятности того что сама частица не отклонится (без соударения с молекулой) ($100\%$).
Это одна свертка
====
Предположим, что частица (пыли) пролетает через объем воздуха, в котором всего две молекулы воздуха, движущиеся строго перпендикулярно полету частицы пыли с известной скоростью.
В этом случае на мишени мы увидим распределение, состоящее из трех областей - пятно в центре мишени и два пятна в виде окружности на некотором расстоянии от центра.
Расстояния от центра будут зависеть от скорости частицы, а отношение числа частиц на окружности к выпущенному числу частиц - вероятность столкновения.
При этом, поскольку молекул воздуха две, и скорость у них всегда одни и те же, свертка будет выдавать три значения - нуль, единицу и двойку.
В данном случае есть три случайные величины - смещение частицы пыли на нуль и на единицу из-за соударения с первой молекулой воздуха, смещение частицы пыли на нуль и на единицу из-за соударения со второй молекулой, и вероятность того что частица не отклонится сама по себе ($100\%$).
Это две свертки.

Таким образом, можно построить модель, которая будет "выдавать" некоторое распределение (допустим из двух концентрических кругов и пятна в центре), в этой модели будет две операции свертки.
Если на мишени мы увидим всего две концентрических окружности и пятно в центре - это будет означать, что пылинка столкнулась с двумя молекулами воздуха в вышеуказанном опыте.
Ну а дальше (разные скорости молекул, разные углы столкновений ...) дело техники.