Группа с элементами конечного и бесконечного порядков.

[RagNaRok]

Существуют ли группы, в которых есть элементы конечных и бесконечных порядков одновременно?
Все попытки или четны, или "группа" оказывалась не группой
В какую сторону копать?

[Otta]

Я бы копала вокруг самого классического примера группы - группы поворотов.

[RagNaRok]

Otta в сообщении #1397565 писал(а):

Я бы копала вокруг самого классического примера группы - группы поворотов.

Таких примеров не проходили, все были исключительно с числами, даже в кольцах, идеалах , факториальных кольцах

[Otta]

Ну пройдите :) название у вас есть, прочитать нетрудно.

[RagNaRok]

Это да, только вот преподаватель не оценит, совсем. Неужели с числами такого не провернуть? Я пытался как-то поиграть с операцией, но это убирало из "группы" единичный элемент, без которого группа уже не торт.

[Someone]

RagNaRok в сообщении #1397566 писал(а):

все были исключительно с числами

Ну, компле́ксные числа рассмотрите.

[Otta]

(шо то же самое ) естессно

-- 04.06.2019, 00:31 --

RagNaRok в сообщении #1397569 писал(а):

Это да, только вот преподаватель не оценит, совсем.

Откуда Вам знать, что он оценит. Факультет у Вас математический, судя по всему... не?

[Connector]

Подождите, а просто мультипликативная группа рациональных, отличных от $0$, не подходит? Число $-1$ имеет порядок $2$, остальные (кроме $1$) — бесконечный порядок, так ведь?

[Munin]

RagNaRok в сообщении #1397563 писал(а):

Существуют ли группы, в которых есть элементы конечных и бесконечных порядков одновременно?

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}$
Причём сделать её очень просто, берёте два образующих и одно соотношение (тьфу, два, чтобы абелевость была): $\langle a,b\mid a^2=e, ab=ba\rangle.$
Впрочем, и $\langle a,b\mid a^2=e\rangle$ тоже сойдёт. Упражнение: построить эту группу.

[arseniiv]

Munin
Я бы не понял, что значит «построить», если даны соотношения и можно просто факторизовать свободную группу понятно как (что и является в принципе одним из определений группы, заданной образующими и соотношениями). Это позволяет например объявить множество всех слов над $\{a\equiv a^{-1}, b, b^{-1}\}$ таких, что там не попадается две $a$ друг за другом, с соответствующе определённым умножением (конкатенация с выкидыванием появлящегося $aa$), такой группой, но это не особо кормит интуицию (хотя и даёт легко считать что-нибудь).

[Connector]

(Оффтоп)

Если аддитивная группа целых гомоморфна конечной циклической, то группа, о которой пишет Munin, как я понял, гомоморфна диэдральной!

[arseniiv]

Connector
Диэдральные все конечны, если не считать их крайними случаями группу автоморфизмов $\mathbb Z$ как графа и группу $\mathrm O(2,\mathbb R)$. Но всё равно ни одна из них не изоморфна ни одной из тех, которые Munin упомянул.

-- Вт июн 04, 2019 01:35:44 --

Граф первой из тех групп напоминает бесконечную верёвочную лестницу (притом верёвка — умножения на $b$, а перекладины — умножения на $a$), а второй — некоторое искажение этой лестницы из лавкравтовского кошмара, довольно приятное в попытках уложить в конечный человеческий аппарат визуального представления.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1397589 писал(а):

Диэдральные все конечны

Есть одна группа, которую называют "бесконечной диэдральной" (или группой бесконечного диэдра?).

[Connector]

(Оффтоп)

arseniiv. Да, но я говорил не об изоморфизме, а о гомоморфизме. Имел в виду коммутативную группу, упомянутую Munin. Не подскажете, как группа с графом в виде верёвочной лестницы (спасибо за образ!) соотносится с группой Munin’а?

UPD. arseniiv, да, все ясно!

(Оффтоп)

Так и думал, что это и есть её граф, но хотел узнать наверняка.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1397593 писал(а):

Есть одна группа, которую называют "бесконечной диэдральной" (или группой бесконечного диэдра?).

Но она ничем особо не лучше других обобщений: https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group#Generalizations. Как видно оттуда, я додумался не до всех (но я исходил из двойственности Понтрягина для $\mathbb Z_n$ с собой и для $\mathbb Z$ с $\mathrm U(1)$, и другие группы в голову не пришли — и если помножить их полупрямо на группу из тождественного и обращающего (анти, но все они коммутативные) автоморфизмов, получатся конечные диэдральные и две мои), и общая конструкция с полупрямым произведением полезно срабатывает на других абелевых группах.

-- Вт июн 04, 2019 02:10:20 --

Connector в сообщении #1397594 писал(а):

Да, но я говорил не об изоморфизме, а о гомоморфизме.

А, я неправильно прочитал.

Connector в сообщении #1397594 писал(а):

Не подскажете, как группа с графом в виде верёвочной лестницы (спасибо за образ!) соотносится с группой Munin’а?

Это как раз и есть та из его двух групп, которая коммутативна. Сопоставьте узлам лестницы на одной верёвке пары $(0_2, n)$, а узлам на другой — $(1_2, n)$ с тем же $n$ у соседних. Тогда $a = (1_2, 0)$, $b = (0_2, 1)$ (или $b = (0_2, -1)$), и групповая операция, конечно, сложение. Как $n_2$ я обозначил класс вычетов по модулю 2, содержащий $n$.

-- Вт июн 04, 2019 02:11:26 --

Собственно я и нарисовал таким образом

Munin в сообщении #1397581 писал(а):

$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}$

Просто сначала решил, что вас интересует связь лестницы с группой вообще, и выбрал это её представление, а потом решил, что не ясно, кто такие здесь образующие $a, b$. Хотя хм я же описал. Короче надеюсь то неизвестное, что было непонятно, станет.

-- Вт июн 04, 2019 02:51:17 --

Совсем уж оффтоп, но надеюсь что кому-нибудь интересный:
Есть ли какая-то теорема о вложимости групп в виде параллельных переносов (здесь $b$) и отражений (здесь $a$) гиперболической плоскости? Кажется, вторая лестница могла бы быть вложима, если это вдруг не натыкается на метрические проблемы.