А тогда, как я понимаю, и на многообразиях всё то же работает?
Безусловно. Следует, однако, понимать, что ф.р. строятся по модулю бесконечно гладких, а высокочастотные по модулю
![$ O(\omega^{-\infty})$ $ O(\omega^{-\infty})$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/7/557c2359c35ffe5b3653c410421c384a82.png)
, а квазиклассические по модулю
![$O(h^\infty)$ $O(h^\infty)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/0/e20e94f97fa58b2ec6a6445085572d7282.png)
. В результате решение получается в виде осциллирующего интеграла, который вне "страшных мест" превращается в
![$e^{i\phi (x,t)\omega} \sum_{n\ge 0} a_n(x,t)\omega^{-n}$ $e^{i\phi (x,t)\omega} \sum_{n\ge 0} a_n(x,t)\omega^{-n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/8/fc814c17a2609f5c42227a36e1d38fbc82.png)
(метод стационарной фазы). Но при переходе через страшное место могут появиться множители вида
![$e^{i\pi k/4}$ $e^{i\pi k/4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/6/5865952a22380cf5d604d480fb91df8982.png)
(метод стационарной фазы). А вот в "страшных местах" могут появиться всякие всякости (у Арнольда с соавторами исследовано). Самое простое, около "простых каустик" функции Эйри. Они же появляются и при внешней задаче с сильно выпуклым препятствием.
Ну и стоит упомянуть грандмастера таких асимптотик--В.М.Бабича.
Все ряды асимптотические.