Гиперболические функции.

[Solaris86]

Пытаюсь разобраться с гиперболическими функциями и одна нестыковка вызывает полное непонимание.
1. Если рассматривать гиперболические функции, выраженные через экспоненту, то можно посчитать значение функции для любого угла.
2. Если рассматривать гиперболические функции, выраженные параметрически ($x= \ch(t), y = \sh(t)$) для единичной и равнобочной гиперболы $x^2 - y^2 = 1$, где $t$ - угол между секущей к гиперболе и осью абсцисс, то получается, что ветви гипербол асимптотически приближаются к прямым $y = x$ и $y = -x$, поэтому диапазон возможных значений угла t таков:
$t \in [0;\frac{\pi}{4})\bigcup(\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4})\bigcup(\frac{7\pi}{4};2\pi)$.
Поясню на примере:
1. Через экспоненту: $\sh(0) = \frac {e^0-e^{-0}}{2} = 0$, $\sh(\frac{\pi}{4})) = \frac {e^{\frac{\pi}{4}}-e^{-\frac{\pi}{4}}}{2} = 0.869$, $\sh(\frac{\pi}{2})) = \frac {e^{\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}}}{2} = 2.301$.
2. По графику: $\sh(0) = 0$, $\sh(\frac{\pi}{4})) = \infty$, $\sh(\frac{\pi}{2})) = \infty$ (или вообще не существует).
Помогите понять, где я ошибаюсь.

[Otta]

Solaris86 в сообщении #1397167 писал(а):

$x= \ch(t), y = \sh(t)$) для единичной и равнобочной гиперболы $x^2 - y^2 = 1$, где $t$ - угол между секущей к гиперболе и осью абсцисс,

Вы ошибаетесь при интерпретации параметра $t$ как угла. Это не угол, это удвоенная площадь сектора под гиперболой. Посмотрите картинку в Википедии в статье, посвященной гиперболическим функциям, там довольно наглядно все.
Потому и диапазон $t$, Вами указанный, и пункт два довольно бессмысленны. Гиперболические синус и косинус определены везде.

[Pphantom]

Solaris86 в сообщении #1397167 писал(а):

Помогите понять, где я ошибаюсь.

Похоже, что вы как-то неправильно представляете себе геометрический смысл аргумента $t$. Если что - это не угол.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1397167 писал(а):

Помогите понять, где я ошибаюсь.

Вы ошибаетесь там, где называете $t$ углом.

Но аналогия с тригонометрическими функциями есть.
1) Тригонометрические функции.
Рассмотрим окружность $x^2+y^2=1$. Пусть $A$ — точка пересечения окружности с осью $Ox$, $B$ — произвольная точка окружности. Обозначим $t$ удвоенную площадь сектора $OAB$, взятую со знаком "$+$", если $\angle AOB$ отсчитывается в положительном направлении, и со знаком "$-$" — если в отрицательном. Тогда $\cos t$ — это абсцисса, а $\sin t$ ордината точки $B$.
2) Гиперболические функции.
Рассмотрим одну ветвь гиперболы $x^2-y^2=1$, $x>0$. Пусть $A$ — точка пересечения этой ветви с осью $Ox$, $B$ — произвольная точка этой ветви. Обозначим $t$ удвоенную площадь гиперболического сектора $OAB$, взятую со знаком "$+$", если точка $B$ находится в полуплоскости $y\geqslant 0$, и со знаком "$-$" — если в полуплоскости $y<0$. Тогда $\ch t$ — это абсцисса, а $\sh t$ — ордината точки $B$.

[vpb]

Также картинка в Бронштейн, Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, весьма доставляет. (Пост выше --- как раз поясняет эту картинку).
(в 4-м (1954 г.) издании эта картинка на стр. 197.) Там сразу видно, в чем аналогия между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

[Someone]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1397174 писал(а):

(в 4-м (1954 г.) издании эта картинка на стр. 197.)

А у меня — издание 1980 года, сильно переработанное, причём, перевод с немецкого! И там этой картинки нет.
Но когда-то у меня было издание оригинальное, советское, скорее всего, второй половины 60-х годов, и там эта картинка точно была.

[Aritaborian]

Картинка из седьмого издания, 1957 г.

[Munin]

Чтобы перевести $t$ в угол, надо вычислить $\arctg\th t.$

Главная аналогия с тригонометрическими функциями - вот:

$$\begin{gathered}\begin{aligned} \cos x & =\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} & \sin x & =\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ \ch x & =\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} & \sh x & =\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{aligned} \\ \cos^2 x+\sin^2 x=1 \qquad \ch^2 x-\sh^2 x=1 \\ \begin{aligned} \cos(x+y) & =\cos x\cos y-\sin x\sin y & \sin(x+y) & =\sin x\cos y+\cos x\sin y \\ \ch(x+y) & =\ch x\ch y+\sh x\sh y & \sh(x+y) & =\sh x\ch y+\ch x\sh y \end{aligned} \\ \begin{aligned} (\cos x)' & =-\sin x & (\sin x)' & =\cos x \\ (\ch x)' & =\sh x & (\sh x)' & =\ch x \end{aligned}\end{gathered}$$

То есть, у них крайне похожие алгебраические свойства (собственно, в комплексном виде там просто отличие на $i$ в нескольких местах), плюс в аналитическом смысле - они возникают как решения аналогичных дифференциальных уравнений

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}+\omega^2 y=0 \qquad \dfrac{d^2y}{dx^2}-k^2 y=0.$$

-- 02.06.2019 00:03:50 --

Этой картинки щас где только нет. Не надо лезть в Бронштейна-Семендяева, достаточно открыть википедию.

-- 08.01.2020 23:22 --

Переделал табличку для лучшей читаемости (теперь слева тригонометрия, справа гиперболика):

$$\begin{gathered}\begin{aligned} \cos x & =\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \quad & \ch x & =\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\ \sin x & =\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} & \sh x & =\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{aligned} \\ \cos^2 x+\sin^2 x=1 \qquad \ch^2 x-\sh^2 x=1 \\ \begin{aligned} \cos(x+y) & =\cos x\cos y-\sin x\sin y \quad & \ch(x+y) & =\ch x\ch y+\sh x\sh y \\ \sin(x+y) & =\sin x\cos y+\cos x\sin y & \sh(x+y) & =\sh x\ch y+\ch x\sh y \end{aligned} \\ \begin{aligned} (\cos x)' & =-\sin x & (\ch x)' & =\sh x \\ (\sin x)' & =\cos x & (\sh x)' & =\ch x \end{aligned}\end{gathered}$$

[arseniiv]

К этому можно добавить, что аналогию с формулой Эйлера и определениями синуса и косинуса из неё для гиперболических функций можно сделать ещё точнее, рассматривая двойные (split-complex) числа $\mathbb R\oplus\mathbb R$, где $j := (1, -1)$ и $j^2 = 1$; $e^{jx} = \cos x + j\sin x$. А если ещё рассмотреть гиперкомплексную систему с некоторым $\varepsilon^2 = 0$, можно нарисовать аналогичную картинку с прямой, но этот случай никаких интересных трансцендентных функций не порождает.

[Sicker]

(Оффтоп)

arseniiv
Про это Time что-то писал

[Someone]

(Sicker)

Sicker в сообщении #1397380 писал(а):

Про это Time что-то писал

Про это и без Time хорошо известно.

Ещё соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

$$\cos ix=\ch x,\qquad\qquad\ch ix=\cos x,$$

$$\sin ix=i\sh x,\qquad\qquad\sh ix=i\sin x.$$

Исправление: убрал кучу лишних мнимых единиц.

[ewert]

Это не "ещё" соотношения -- это базовые соотношения.

Нормальная логика здесь такова. Формула Эйлера (уж неважно, из каких соотношений полученная) позволяет формально доопределить синусы и косинусы на всю комплексную плоскость. И как частный случай -- доопределения на мнимую ось -- естественным образом выплывают синусы и косинусы гиперболические.

Ну, казалось бы, доопределили; и что?... мало ли что можно присочинить?...

А вот дальше вступает в силу ТФКП. При доопределении через формулу Эйлера синусы и косинусы оказываются регулярными на всей комплексной плоскости (поскольку регулярна сама комплексная экспонента). Для регулярных же функций есть такая фундаментальная теорема о несгущении нулей, согласно которой, в частности, любая формула, верная на $\mathbb R$, распространяется и на всю $\mathbb C$.

Тем самым любая тригонометрическая формула автоматически превращается в соответствующую гиперболическую -- без каких бы то ни было дополнительных доказательств. И правило изменения знаков оказывается очень простым: знак меняется в точности перед квадратом или произведением двух нечётных функций.

[Munin]

Что такое "правило изменения знаков"?

[ewert]

Munin в сообщении #1397459 писал(а):

Что такое "правило изменения знаков"?

Любая тригонометрическая формула очевидным образом переводится в гиперболическую, только кое-где меняются знаки. Я и сказал, где именно.

$$\tg(x+y)=\frac{\tg x+\tg y}{1-\tg x\,\tg y}\quad\Rightarrow\quad\th(x+y)=\frac{\th x+\th y}{1+\th x\,\th y}$$

$$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\quad\Rightarrow\quad\sh3x=3\sh x+4\sh^3x$$

$$\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\quad\Rightarrow\quad\ch3x=4\ch^3x-3\ch x$$

И т.д.

[Munin]

Ну это какие-то излишние выдумки. Вполне достаточно того, что Someone написал.

Кстати, эти соотношения для удобства бывает удобно переписывать по-разному.

"Правила выноса $i$ из-под функции":

$$\sin ix=i\sh x\quad\cos ix=\ch x\qquad\sh ix=i\sin x\quad\ch ix=\cos x$$

"Перевод гиперболической функции в тригонометрическую и обратно":

$$\sh x=\tfrac{1}{i}\sin ix\quad\ch x=\cos ix\qquad\sin x=\tfrac{1}{i}\sh ix\quad\cos x=\ch ix$$

"Правила внесения $i$ под функцию":

$$\sin x=\tfrac{1}{i}\sh ix\quad\cos x=\ch ix\qquad\sh x=\tfrac{1}{i}\sin ix\quad\ch x=\cos ix$$

Munin в сообщении #1397202 писал(а):

Чтобы перевести $t$ в угол, надо вычислить $\arctg\th t.$

А это, оказывается, https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Гудермана . (А её обратная - функция Ламберта, см. там же.)

-- 03.06.2019 15:56:20 --

Например,

$$\begin{gathered}{}\th(x+y)=\tfrac{1}{i}\tg(ix+iy)={} \\ {}=\tfrac{1}{i}\dfrac{\tg ix+\tg iy}{1-\tg ix\,\tg iy}=\dfrac{\tfrac{1}{i}\tg ix+\tfrac{1}{i}\tg iy}{1+(\tfrac{1}{i})^2\tg ix\,\tg iy}=\dfrac{\th x+\th y}{1+\th x\,\th y}.\end{gathered}$$