Тип преобразования плоскости

[Connector]

Как раз точка $A$ будет неподвижной, правильно?

[Munin]

nnosipov в сообщении #1396275 писал(а):

Это лишний раз доказывает, что Вы оторваны от реальности (я имею в виду реальную преподавательскую деятельность).

Я не понимаю, в чём ваша претензия-то? Если бы вы разъяснили, я был бы вам благодарен.

[nnosipov]

sotu в сообщении #1396345 писал(а):

можно написать формулу
$v'=v\bullet e^{i\alpha}+x_a+x_b+i(y_a+y_b)$,

Формула не совсем верная (как я понял, Вы написали формулу для всей композиции), но Вы на правильном пути. Перепроверьте вычисления.

-- Чт май 30, 2019 00:14:13 --

Connector в сообщении #1396358 писал(а):

Как раз точка $A$ будет неподвижной, правильно?

Опять нет.

Upd. Хотя нет, теперь ответ верный. ($A$ будет неподвижной точкой, если $a+e^{i\alpha}b=0$.)

Поразительно, как тривиальнейшая задача может столь долго обсуждаться. Я думал, моим первым постом все и ограничится, а тут такое. Нет уж, господа, у меня такого добра и на работе выше крыши, так что дальше без меня.

[sotu]

nnosipov в сообщении #1396361 писал(а):

sotu в сообщении #1396345 писал(а):

можно написать формулу
$v'=v\bullet e^{i\alpha}+x_a+x_b+i(y_a+y_b)$,

Формула не совсем верная (как я понял, Вы написали формулу для всей композиции), но Вы на правильном пути. Перепроверьте вычисления.

Возможно, из-за того, что каждое следующее преобразование нужно применять к тому, что осталось после предыдущего, а я этого не учитывал.

Получилось так:
$v'=v+x_a+iy_a v''=v'e^{i\alpha}=(v+x_a+iy_a)e^{i\alpha} v_{fin}=v''+x_b+iy_b=e^{i\alpha}(v+x_a+iy_a)+x_b+iy_b $

Всё ещё не очень понятно, что это за преобразование. Велик соблазн объявить его скользящей симметрией, но не могу подобрать прямую, относительно которой она бы возникала.

По определению скользящая симметрия - это отражение относительно прямой с последующим переносом на вектор, параллельный этой прямой, так что, если это действительно скользящая симметрия, то строить её надо относительно прямой $y_bx-x_by+c=0$ Вариант - подставить точку $A$, а то она вообще не использовалась. Получится конкретная прямая на плоскости. Вопрос в том, насколько это правда.

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

sotu, не надо писать этот вырвиглазный \bullet, При необходимости используйте \cdot или \times (а в вашем случае необходимости нет, так что лучше вообще ничего не ставить).

[iifat]

nnosipov в сообщении #1396303 писал(а):

Угол между векторами не может быть больше $180^\circ$

Как считать. Либо от $-180^\circ$ до $180^\circ$, либо от $0$ до $360^\circ$.

-- 30.05.2019, 04:08 --

sotu в сообщении #1396375 писал(а):

Получилось так:
$v''=v'e^{i\alpha}=(v+x_a+iy_a)e^{i\alpha}$

Это поворот вокруг нуля.

[vpb]

sotu
вот Вам такой вопрос. Пусть $U$, $V$ --- два движения плоскости, $W=U\circ V$ --- их композиция. Если мы знаем, что $U$ сохраняет ориентацию, а $W$ переворачивает, то что можно сказать про $W$, оно сохраняет ориентацию или меняет ?

[iifat]

И да, не спешите расписывать по координатам. $v'=v+z_a$. Ну и так далее.
Запишите ваши стандартные преобразования в той же форме и сравните.

[sotu]

iifat в сообщении #1396386 писал(а):

Это поворот вокруг нуля.

Достаточно ли перед поворотом на угол $\alpha$ сделать параллельный перенос на $v_A=(x_A,y_A)$ для получения нужного поворота?

vpb в сообщении #1396388 писал(а):

sotu
вот Вам такой вопрос. Пусть $U$, $V$ --- два движения плоскости, $W=U\circ V$ --- их композиция. Если мы знаем, что $U$ сохраняет ориентацию, а $W$ переворачивает, то что можно сказать про $W$, оно сохраняет ориентацию или меняет ?

Должно сохранять. Тогда вариант с симметрией, видимо, не подходит.

iifat в сообщении #1396389 писал(а):

И да, не спешите расписывать по координатам. $v'=v+z_a$. Ну и так далее.
Запишите ваши стандартные преобразования в той же форме и сравните.

$v_1=v+a $v_2=v_1+v_A$ $v_3=v_2e^{i\alpha}$ $v_{fin}=v_3+b=v_2e^{i\alpha}+b=(v_1+v_A)e^{i\alpha}+b=(v+a+v_A)e^{i\alpha}+b$

[nnosipov]

iifat в сообщении #1396386 писал(а):

Как считать. Либо от $-180^\circ$ до $180^\circ$, либо от $0$ до $360^\circ$.

Вы путаете угол между векторами с аргументом комплексного числа.

[vpb]

sotu в сообщении #1396395 писал(а):

Должно сохранять. Тогда вариант с симметрией, видимо, не подходит.

Нет, не верно. Скажите, а задача эта из какого курса (предмета) ? Какое у вас основное пособие по этому предмету ? От этого зависит, какое решение для вас лучше. И вы вообще кто, студент, старшеклассник, или просто любитель математики ?

[arseniiv]

sotu в сообщении #1396395 писал(а):

Достаточно ли перед поворотом на угол $\alpha$ сделать параллельный перенос на $v_A=(x_A,y_A)$ для получения нужного поворота?

Потом ещё назад перенести. Итого, поворот на $\varphi$ вокруг $v$ переводит $z$ в $e^{i\varphi}(z - v) + v$.

sotu в сообщении #1396395 писал(а):

$v_1=v+a$ $v_2=v_1+v_A$ $v_3=v_2e^{i\alpha}$ $v_{fin}=v_3+b=v_2e^{i\alpha}+b=(v_1+v_A)e^{i\alpha}+b=(v+a+v_A)e^{i\alpha}+b$

Теперь придётся доправить поворот.

Ещё стоит заметить по поводу:

sotu в сообщении #1396375 писал(а):

Всё ещё не очень понятно, что это за преобразование. Велик соблазн объявить его скользящей симметрией, но не могу подобрать прямую, относительно которой она бы возникала.

Тип мог бы в принципе зависеть от того, как соотносятся параметры. И в данном случае и зависит. Если поворот тривиальный (на ноль), у нас будет лишь перенос, а если переносы тривиальны, поворот. Что с общим случаем — остаток задачи. Но здесь по крайней мере не придётся выделять квадрат как в некоторых других.

-- Ср май 29, 2019 23:57:37 --

nnosipov в сообщении #1396397 писал(а):

Вы путаете угол между векторами с аргументом комплексного числа.

При фиксированной ориентации в принципе можно определить угол для упорядоченной пары векторов, значения которого будут занимать уже всю окружность. Может быть, имелся в виду такой.

[sotu]

vpb в сообщении #1396401 писал(а):

Нет, не верно. Скажите, а задача эта из какого курса (предмета) ? Какое у вас основное пособие по этому предмету ? От этого зависит, какое решение для вас лучше. И вы вообще кто, студент, старшеклассник, или просто любитель математики ?

Значит, не сохраняет?

Задача по курсу наглядной геометрии и топологии, основной учебник Курс наглядной геометрии и топологии, (Ошемков А.А. и др.). Там про матрицы и комплексные числа для таких задач не очень много. Сам пока еще студент.

arseniiv в сообщении #1396403 писал(а):

Теперь придётся доправить поворот.

Так?
$v_1=v+a v_2=v_1+v_A v_3=v_2e^{i\alpha}-v_A v_4=v_3+b=v_2e^{i\alpha}-v_A+b=(v_1+v_A)e^{i\alpha}-v_A+b=(v+a+v_A)e^{i\alpha}-v_A+b $

Цитата:

Ещё стоит заметить по поводу:

sotu в сообщении #1396375 писал(а):

Всё ещё не очень понятно, что это за преобразование. Велик соблазн объявить его скользящей симметрией, но не могу подобрать прямую, относительно которой она бы возникала.

Тип мог бы в принципе зависеть от того, как соотносятся параметры. И в данном случае и зависит. Если поворот тривиальный (на ноль), у нас будет лишь перенос, а если переносы тривиальны, поворот. Что с общим случаем — остаток задачи. Но здесь по крайней мере не придётся выделять квадрат как в некоторых других.

Можно ли как-то сформулировать общий ответ через композицию одного параллельного переноса и одного вращения?

[Munin]

sotu в сообщении #1396421 писал(а):

Задача по курсу наглядной геометрии и топологии

Я не знаю, что это за курс, но по названию судя, предложил бы вам решить задачу, построив чертёж.

[sotu]

Munin в сообщении #1396425 писал(а):

sotu в сообщении #1396421 писал(а):

Задача по курсу наглядной геометрии и топологии

Я не знаю, что это за курс, но по названию судя, предложил бы вам решить задачу, построив чертёж.

Я действительно начал с этого. Удобно, потому что доказательство теоремы Шаля является по существу инструкцией к перебору случаев.
Там тоже, вроде как, видно, что общего ответа особо не предвидится, и нужно знать что-то дополнительно о $A,\alpha,a,b$.