Пять точек на сфере

[alcoholist]

Рассмотрим ту же задачу для одной точки $M$ при четырех фиксированных (например, вершинах $A_i$ некоторого тетраэдра). Такая задача имеет 4 решения, это -- антиподы вершин: $M=-A_i$.
Пусть $M=-A_1$. Двигаем вершины $A_{2,3,4}$ от точки $M$ так, чтобы они оставались в плоскости, перпендикулярной $A_1M$. При таких ограничениях сумма попарных расстояний достигает максимума понятно где.
Кажется, что такое расположение доставляет локальный максимум для задачи без ограничений. Вроде, значение равно $3\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2$. То есть одно расстояние равно $2$, три расстояния $\sqrt{3}$ и шесть расстояний $\sqrt{2}$.

-- Пт май 24, 2019 19:11:58 --

Booker48 в сообщении #1394288 писал(а):

В книге Ласло Фейеша Тота "Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве"

показано, что наименьшее из попарных расстояний между пятью (и шестью!) точками достигает наибольшей величины $\sqrt{2}$.
Следовательно, в искомом расположении найдется пара точек на таком расстоянии.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ET]

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):

Там же нулевые производные по перемещениям его вершин Или это точка перегиба?
ET
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Если метрика по прямой, то точка седловая и никакого локального экстремума

[fred1996]

А вот интересно, каким образом можно получить локальные максимумы?
Предлагается такой вариант. Берем правильный n -угольник и располагаем его по экватору в плоскости xy. А потом слегка смещаем какие-то точки в направлении $dz$ или $-dz$. Ну а далее для предложенного потенциала $-fl$ считаем на компьютере результирующие силы и методом итераций находим локальный максимум. Будет ли предложенная методика исчерпывать все возможные максимумы?

[arseniiv]

Кстати ещё:

Sicker в сообщении #1394193 писал(а):

для трех равносторонний треугольник

Если расстояния по сфере, то любой треугольник, покрывающий экватор — ведь у них у всех сумма попарных расстояний $2\pi$.

[Sicker]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1395227 писал(а):

Если расстояния по сфере

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):

Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Но вы пять копеек не могли не вставить

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1395318 писал(а):

Но вы пять копеек не могли не вставить

Мне показалось, в теме несколько раз путались, внутренняя или внешняя. Да, этот пост как-то пропустил.

-- Вс май 26, 2019 16:58:08 --

Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма. Почему-то я лично ожидал куб.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #1395408 писал(а):

Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма.

Это ведь куб с повернутым основанием?

-- Вс май 26, 2019 19:28:51 --

Нет ли подхода к решению исходной задачи, основанного на анализе группы симметрии экстремальной конфигурации?

[Sender]

Кстати, есть статья, где эта задача вроде как решена. Похоже, перебор неких случаев в доказательстве осуществлён с помощью компьютера.
https://arxiv.org/abs/0906.0937
Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.
https://arxiv.org/abs/1001.3702

[alcoholist]

Sender в сообщении #1395499 писал(а):

Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.

Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."
Приятно, что та самая "треугольная бипирамида" указана мною выше в этом топике. Остер глазомер))

[Sender]

alcoholist в сообщении #1395510 писал(а):

Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."

В предисловии, да. После этого идут десятки страниц строгих формулировок и доказательств; впрочем, я не ручаюсь за их истинность.

[arseniiv]

alcoholist в сообщении #1395480 писал(а):

Это ведь куб с повернутым основанием?

Антипризма с квадратным основанием — точно, а вот что её высота равна стороне основания, я не проверял в тот раз. Сейчас посчитал — сторона основания $\approx1{,}164$, высота $\approx1{,}137$. Думаю, в точном решении это разные величины.

Ещё довольно симметричная конфигурация численно выходила у 10 точек, этакая $(1,3,3,1)$-антипризма (с обеих сторон от оснований треугольной антипризмы на её оси симметрии добавили по точке).

[alcoholist]

Похоже, что начиная с четырех точек (вписанный правильный тетраэдр), всё равно какую метрику рассматривать.

В книжке Тота по всей видимости указана и экстремальная конструкция для 7 точек. Она легко получается из октаэдра (экстремальные 6 точек).

Интересно, как соотносятся максимальные значения сумм попарных расстояний с их средними значениями. Как эти две функции числа точек связаны?

[Sicker]

fred1996 в сообщении #1395062 писал(а):

Квадрат на сфере - это конструкция неустойчивого равновесия. Естественно у нее первые производные нулевые. Пусть у нас есть единичная сфера с центром в начале координат. Расположите квадрат в плоскости $xy$ с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$. А потом сместите первую и третью точки на $dz$, а вторую и четвертую на $-dz$. Тогда диаганали фигуры останутся то же длины, а периметр увеличится на $4\sqrt{2}(dz)^2$. Или что-то в этом роде.
То же самое будет, если в эти точки поместить одинаково заряженные электрические заряды. Потенциал отталктвания будет другой, но результат тот же.

Как раз диагонали уменьшаться Общее изменение будет $2(\sqrt{2}-1)dz^2>0$, так что это не максимум, да
P.S. Чтобы диагонали были неизменны, нужно вторую и третью точку изменить на $dz$, а первую и четвертую на $-dz$, тогда общее изменение длины вообще будет нулевое

[fred1996]

Sicker
Ну да, вы правы насчет диагоналей.