2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение24.05.2019, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Рассмотрим ту же задачу для одной точки $M$ при четырех фиксированных (например, вершинах $A_i$ некоторого тетраэдра). Такая задача имеет 4 решения, это -- антиподы вершин: $M=-A_i$.
Пусть $M=-A_1$. Двигаем вершины $A_{2,3,4}$ от точки $M$ так, чтобы они оставались в плоскости, перпендикулярной $A_1M$. При таких ограничениях сумма попарных расстояний достигает максимума понятно где.
Кажется, что такое расположение доставляет локальный максимум для задачи без ограничений. Вроде, значение равно $3\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2$. То есть одно расстояние равно $2$, три расстояния $\sqrt{3}$ и шесть расстояний $\sqrt{2}$.

-- Пт май 24, 2019 19:11:58 --

Booker48 в сообщении #1394288 писал(а):
В книге Ласло Фейеша Тота "Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве"

показано, что наименьшее из попарных расстояний между пятью (и шестью!) точками достигает наибольшей величины $\sqrt{2}$.
Следовательно, в искомом расположении найдется пара точек на таком расстоянии.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.05.2019, 13:32 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
20949
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 15:40 


08/05/08
571
Sicker в сообщении #1395040 писал(а):
Там же нулевые производные по перемещениям его вершин :-) Или это точка перегиба?
ET
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Если метрика по прямой, то точка седловая и никакого локального экстремума

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 16:12 
Аватара пользователя


09/10/15
3865
Torrance, California, USA
А вот интересно, каким образом можно получить локальные максимумы?
Предлагается такой вариант. Берем правильный n -угольник и располагаем его по экватору в плоскости xy. А потом слегка смещаем какие-то точки в направлении $dz$ или $-dz$. Ну а далее для предложенного потенциала $-fl$ считаем на компьютере результирующие силы и методом итераций находим локальный максимум. Будет ли предложенная методика исчерпывать все возможные максимумы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Кстати ещё:
Sicker в сообщении #1394193 писал(а):
для трех равносторонний треугольник
Если расстояния по сфере, то любой треугольник, покрывающий экватор — ведь у них у всех сумма попарных расстояний $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 01:41 
Аватара пользователя


13/08/13
4087

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1395227 писал(а):
Если расстояния по сфере

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Но вы пять копеек не могли не вставить :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Sicker в сообщении #1395318 писал(а):
Но вы пять копеек не могли не вставить :D
Мне показалось, в теме несколько раз путались, внутренняя или внешняя. Да, этот пост как-то пропустил.

-- Вс май 26, 2019 16:58:08 --

Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма. Почему-то я лично ожидал куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
arseniiv в сообщении #1395408 писал(а):
Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма.

Это ведь куб с повернутым основанием?

-- Вс май 26, 2019 19:28:51 --

Нет ли подхода к решению исходной задачи, основанного на анализе группы симметрии экстремальной конфигурации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 20:59 


14/01/11
2331
Кстати, есть статья, где эта задача вроде как решена. Похоже, перебор неких случаев в доказательстве осуществлён с помощью компьютера.
https://arxiv.org/abs/0906.0937
Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.
https://arxiv.org/abs/1001.3702

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Sender в сообщении #1395499 писал(а):
Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.

Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."
Приятно, что та самая "треугольная бипирамида" указана мною выше в этом топике. Остер глазомер))

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:28 


14/01/11
2331
alcoholist в сообщении #1395510 писал(а):
Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."

В предисловии, да. После этого идут десятки страниц строгих формулировок и доказательств; впрочем, я не ручаюсь за их истинность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
alcoholist в сообщении #1395480 писал(а):
Это ведь куб с повернутым основанием?
Антипризма с квадратным основанием — точно, а вот что её высота равна стороне основания, я не проверял в тот раз. Сейчас посчитал — сторона основания $\approx1{,}164$, высота $\approx1{,}137$. Думаю, в точном решении это разные величины.

Ещё довольно симметричная конфигурация численно выходила у 10 точек, этакая $(1,3,3,1)$-антипризма (с обеих сторон от оснований треугольной антипризмы на её оси симметрии добавили по точке).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2491
СПб
Похоже, что начиная с четырех точек (вписанный правильный тетраэдр), всё равно какую метрику рассматривать.

В книжке Тота по всей видимости указана и экстремальная конструкция для 7 точек. Она легко получается из октаэдра (экстремальные 6 точек).

Интересно, как соотносятся максимальные значения сумм попарных расстояний с их средними значениями. Как эти две функции числа точек связаны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 02:41 
Аватара пользователя


13/08/13
4087
fred1996 в сообщении #1395062 писал(а):
Квадрат на сфере - это конструкция неустойчивого равновесия. Естественно у нее первые производные нулевые. Пусть у нас есть единичная сфера с центром в начале координат. Расположите квадрат в плоскости $xy$ с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$. А потом сместите первую и третью точки на $dz$, а вторую и четвертую на $-dz$. Тогда диаганали фигуры останутся то же длины, а периметр увеличится на $4\sqrt{2}(dz)^2$. Или что-то в этом роде.
То же самое будет, если в эти точки поместить одинаково заряженные электрические заряды. Потенциал отталктвания будет другой, но результат тот же.

Как раз диагонали уменьшаться :-) Общее изменение будет $2(\sqrt{2}-1)dz^2>0$, так что это не максимум, да :-)
P.S. Чтобы диагонали были неизменны, нужно вторую и третью точку изменить на $dz$, а первую и четвертую на $-dz$, тогда общее изменение длины вообще будет нулевое :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 14:54 
Аватара пользователя


09/10/15
3865
Torrance, California, USA
Sicker
Ну да, вы правы насчет диагоналей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group