2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение24.05.2019, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Рассмотрим ту же задачу для одной точки $M$ при четырех фиксированных (например, вершинах $A_i$ некоторого тетраэдра). Такая задача имеет 4 решения, это -- антиподы вершин: $M=-A_i$.
Пусть $M=-A_1$. Двигаем вершины $A_{2,3,4}$ от точки $M$ так, чтобы они оставались в плоскости, перпендикулярной $A_1M$. При таких ограничениях сумма попарных расстояний достигает максимума понятно где.
Кажется, что такое расположение доставляет локальный максимум для задачи без ограничений. Вроде, значение равно $3\sqrt{3}+6\sqrt{2}+2$. То есть одно расстояние равно $2$, три расстояния $\sqrt{3}$ и шесть расстояний $\sqrt{2}$.

-- Пт май 24, 2019 19:11:58 --

Booker48 в сообщении #1394288 писал(а):
В книге Ласло Фейеша Тота "Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве"

показано, что наименьшее из попарных расстояний между пятью (и шестью!) точками достигает наибольшей величины $\sqrt{2}$.
Следовательно, в искомом расположении найдется пара точек на таком расстоянии.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.05.2019, 13:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 15:40 


08/05/08
593
Sicker в сообщении #1395040 писал(а):
Там же нулевые производные по перемещениям его вершин :-) Или это точка перегиба?
ET
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Если метрика по прямой, то точка седловая и никакого локального экстремума

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 16:12 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А вот интересно, каким образом можно получить локальные максимумы?
Предлагается такой вариант. Берем правильный n -угольник и располагаем его по экватору в плоскости xy. А потом слегка смещаем какие-то точки в направлении $dz$ или $-dz$. Ну а далее для предложенного потенциала $-fl$ считаем на компьютере результирующие силы и методом итераций находим локальный максимум. Будет ли предложенная методика исчерпывать все возможные максимумы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение25.05.2019, 16:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Кстати ещё:
Sicker в сообщении #1394193 писал(а):
для трех равносторонний треугольник
Если расстояния по сфере, то любой треугольник, покрывающий экватор — ведь у них у всех сумма попарных расстояний $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 01:41 
Аватара пользователя


13/08/13

4323

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1395227 писал(а):
Если расстояния по сфере

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Но вы пять копеек не могли не вставить :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 14:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sicker в сообщении #1395318 писал(а):
Но вы пять копеек не могли не вставить :D
Мне показалось, в теме несколько раз путались, внутренняя или внешняя. Да, этот пост как-то пропустил.

-- Вс май 26, 2019 16:58:08 --

Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма. Почему-то я лично ожидал куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
arseniiv в сообщении #1395408 писал(а):
Для восьми численно получается не куб, а квадратная антипризма.

Это ведь куб с повернутым основанием?

-- Вс май 26, 2019 19:28:51 --

Нет ли подхода к решению исходной задачи, основанного на анализе группы симметрии экстремальной конфигурации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 20:59 


14/01/11
2916
Кстати, есть статья, где эта задача вроде как решена. Похоже, перебор неких случаев в доказательстве осуществлён с помощью компьютера.
https://arxiv.org/abs/0906.0937
Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.
https://arxiv.org/abs/1001.3702

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Sender в сообщении #1395499 писал(а):
Имеется статья и про математически строгое решение задачи Томсона для случая пяти электронов.

Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."
Приятно, что та самая "треугольная бипирамида" указана мною выше в этом топике. Остер глазомер))

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:28 


14/01/11
2916
alcoholist в сообщении #1395510 писал(а):
Не строгое. Там написано, что "все согласны с тем, что..."

В предисловии, да. После этого идут десятки страниц строгих формулировок и доказательств; впрочем, я не ручаюсь за их истинность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение26.05.2019, 21:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
alcoholist в сообщении #1395480 писал(а):
Это ведь куб с повернутым основанием?
Антипризма с квадратным основанием — точно, а вот что её высота равна стороне основания, я не проверял в тот раз. Сейчас посчитал — сторона основания $\approx1{,}164$, высота $\approx1{,}137$. Думаю, в точном решении это разные величины.

Ещё довольно симметричная конфигурация численно выходила у 10 точек, этакая $(1,3,3,1)$-антипризма (с обеих сторон от оснований треугольной антипризмы на её оси симметрии добавили по точке).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Похоже, что начиная с четырех точек (вписанный правильный тетраэдр), всё равно какую метрику рассматривать.

В книжке Тота по всей видимости указана и экстремальная конструкция для 7 точек. Она легко получается из октаэдра (экстремальные 6 точек).

Интересно, как соотносятся максимальные значения сумм попарных расстояний с их средними значениями. Как эти две функции числа точек связаны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 02:41 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
fred1996 в сообщении #1395062 писал(а):
Квадрат на сфере - это конструкция неустойчивого равновесия. Естественно у нее первые производные нулевые. Пусть у нас есть единичная сфера с центром в начале координат. Расположите квадрат в плоскости $xy$ с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$. А потом сместите первую и третью точки на $dz$, а вторую и четвертую на $-dz$. Тогда диаганали фигуры останутся то же длины, а периметр увеличится на $4\sqrt{2}(dz)^2$. Или что-то в этом роде.
То же самое будет, если в эти точки поместить одинаково заряженные электрические заряды. Потенциал отталктвания будет другой, но результат тот же.

Как раз диагонали уменьшаться :-) Общее изменение будет $2(\sqrt{2}-1)dz^2>0$, так что это не максимум, да :-)
P.S. Чтобы диагонали были неизменны, нужно вторую и третью точку изменить на $dz$, а первую и четвертую на $-dz$, тогда общее изменение длины вообще будет нулевое :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 14:54 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Sicker
Ну да, вы правы насчет диагоналей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group