Сумма куба и двух квадратов

[Ktina]

Верно ли, что любое целое число представимо в виде суммы куба и двух квадратов?

[gris]

Куб целого числа?
То есть, типа $-7=-8+0+1=-27+4+16$, а $7=-27+25+9=-1+4+4=-99^3+985^2+9^2$
Мне кажется, построить контрпример будет трудно
Потому, что решения могут быть очень-очень большими, что даже в PARI какое-нибудь не влезут.
Вот ещё: $2019=-23^3+119^2+5^2$. Неужели недостаточно?
Вот если один квадрат оставить, то там куча таких: $6,7,11...$

[Ktina]

gris в сообщении #1395211 писал(а):

Куб целого числа?

Имеется в виду, что каждое целое число представимо в виде суммы куба целого числа и двух квадратов целых чисел.

[gris]

Я имел в виду, что можно целые отрицательные для куба. А то есть последовательность чисел, не представимых в виде суммы куба и двух квадратов натуральных от нуля чисел:
$7,15,22,24...$
А если разрешить куб и вычитать, то не видать непредставимых, даже и отрицательных.

[vicvolf]

gris в сообщении #1395252 писал(а):

А если разрешить куб и вычитать, то не видать непредставимых, даже и отрицательных.

Ну это не доказательство.

[gris]

Я просто по ощущениям. Если перевести задачу в натуральные, то это будет уравнение $N=\pm n^3\pm(m^2+k^2)$. Эти плюс-минусы дают надежду. Если бы в формуле была разность квадратов (которой можно представить любое нечётное число), то доказательство было бы школьным. Это я на случай, если ТС переформулирует условие.
А так, наверное, можно через некоторые аддитивные, как Вы сказали, теоремы. Может быть, это вообще известное утверждение. Или вполне может существовать некоторое выражение типа $n=P^3(n)+R^2(n)+Q^2(n)$, где $P,R,Q$ многочлены. Кто такие задачки щёлкает, тот знает.

[vicvolf]

gris
Если рассматривать данную задачу в натуральных числах. то она относится к тернарным аддитивным проблемам, которые решаются.методом Харди-Литтлауда. Окончательное решение было получено только Лежандром для суммы трёх квадратов. В остальных случаях показано, что почти все натуральные числа можно представить в таком виде. Если допустить представление натурального числа в целых числах, то плотность такого представления только возрастёт, поэтому контрпример в этой области искать не надо. Понятно что представление нуля в данном виде тривиально. Гораздо интереснее представление в таком виде отрицательных чисел. Плотность такого представления значительно ниже, поэтому контрпример стоит поискать в этой области.

[gris]

vicvolf, а как вообще возможно построить контрпример, если множество претендентов на решение не ограничено, а никакие соображения из арифмоста не работают? Решение для отрицательных чисел эквивалентно решению уравнения $N=n^3-m^2-k^3$ в натуральных (с нулём). Даже в небольших числах можно начать последовательность решений:

$0-0-0;1-0-0;27-25-0;8-4-1;8-4-0;7^3-13^2-14^2;$

$8-1-1;8-1-0;8-0-0;125-100-16;...$

Но есть решения огромные: $360=609^3-14955^2-1488^2$

[vicvolf]

gris Вольфрам не находит разложения в целых числах уже для $-3$. https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 3-%2B3%3D0

[gris]

Вольфрам не любит уравнения с тремя переменными, но в данном случае выдаёт много.
$-3=(-2)^3+1^2+2^2=(-4)^3+5^2+6^2=(-5)^3+11^2+2^2=...$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+in+integer+(k%5E3%2Bm%5E2%2Bn%5E2%3D-3)

[vicvolf]

Странно для $-4$ и $-5$ находит. А Вы как проверяете?

[vicvolf]

Да, Вольфрам в очевидных случаях глючит и не дает решений https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... k%5E3%3D-7). Таким средством пользоваться нельзя.
Надо посмотреть есть ли решения для отрицательных значений хотя бы до -100? Думаю, должен быть контрпример. Помогите или порекомендуйте другое средство?

[gris]

Да в начале списка можно и на глазок подыскивать, благо квадраты и кубы расположены часто. Можно и самому написать программку. Даже в эксельке. Я проверял уравнение $k^3-n^2-m^2=N$ в натуральных самым примитивным способом. Берём $L=\lfloor\sqrt [3] N\rfloor$, возводим в куб и вычитаем суммы квадратов, пока не получим ноль. Можно даже чуть оптимизировать. Потом проверяем $L++$ и так, пока не найдём решение или не дойдём до миллиона. Тогда можем сказать: в пределах миллиарда решений нет. Можно ли это назвать контрпримером? А вдруг решение вообще дальше гугла?
Я думаю, что это упражнение на устный счёт в самолёте или электричке. Интересно, конечно, прикоснуться к проблемам, помянуть высокие Имена, но относиться всерьёз без углубления... Впрочем, также, как в КХД или неголономной механике (см. соответств. высказывания авторитетов).
Это я про себя Имею подчас желание влезть, куда не надо, и не всегда это желание подавляю. Вы, я думаю, разбираетесь в вопросе лучше. Вотъ.

[gris]

vicvolf, вот специально для Вас

(Оффтоп)

$-0=-0^3+0+0$
$-1=-1^3+0+0$
$-2=-3^3+3^2+4^2$
$-3=-2^3+1^2+2^2$
$-4=-2^3+2^2+0$
$-5=-7^3+13^2+13^2$
$-6=-2^3+1^2+1^2$
...
$-96=-5^3+5^2+2^2$
$-97=-11^3+3^2+35^2$
$-98=-7^3+14^2+7^2$
$-99=-5^3+5^2+1^2$
...
$-6551=-22^3+31^2+56^2$
$-6552=-20^3+38^2+2^2$

for (n=6543;n<6553;n++) {
   l=Math.floor(Math.exp(Math.log(n)/3)); 
   l3=l*l*l;
   if (l3==n) {trace("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+0"+"+0$") }
   else { ok=0; while (ok==0) 
                      {l=l+1;l3=l*l*l;a=l3-n;
         b=Math.floor(Math.exp(Math.log(a)/2)); b2=b*b;
          if (b2==a) { trace ("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+"+b+"^2+0$");ok=1;}
          else {c=-1;  e=0;  
                                 while ((ok==0)&&(e<b)) 
                                        {e=e+1;c=c+2;a=a-c; 
                     d=Math.floor(Math.exp(Math.log(a)/2)); d2=d*d;
                      if (d2==a) { trace ("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+"+e+"^2+"+d+"^2$");ok=1;}
                                  }
            };
                                if(l>100) {trace("failure");ok=1};
                         }

     }
}

[Someone]

Ищем целочисленные решения уравнения $x^3+y^2+z^2=n$, где $n$ — заданное целое число; дополнительно я буду предполагать, что $n\leqslant 0$, $x\neq 0$, $0<y<z$. Для отрицательного $n$ уравнение перепишем в виде $n-x^3=y^2+z^2$.

Используется следующая теорема: Натуральное число $N$ представляется суммой квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители каждый простой множитель вида $4k+3$ входит в чётной степени.

Эту теорему используем для отсева тех $x$, при которых $n-x^3$ заведомо не представляется суммой квадратов двух целых чисел. Найти затем $y$ и $z$ можно либо перебором, либо с помощью тождества $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ (я воспользовался перебором).

Wolfram Mathematica за несколько секунд проверила все $n$ от $0$ до $-10000$. Решения (с условием $y<z$) с наименьшим по модулю $x$, а для него — с наименьшим $y$, собраны в файле Res.txt.
В отдельном файле ResE.txt собраны решения с $y=z$ для тех случаев, когда они имеют меньшее $x$.
Решения с $y=0$ не искал.

Наибольший $\lvert x\rvert$ оказалcя в решении $-4362=(-79)^3+399^2+574^2$.

Да, забыл сказать, что решения существуют для всех $n$ из рассмотренного диапазона.