2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13600
Наверное, можно даже усилить предположение: для каждого числа количество представлений бесконечно :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16823
Москва
Проверил все натуральные $n$ от $1$ до $10000$. Для каждого найдено решение, удовлетворяющее дополнительным условиям $x\neq 0$ и $0<y<z$. Решения с $y=0$ не проверялись, но желающие могут легко найти их сами, если кому-то они интересны.
Значения $x$ перебирались, начиная с наибольшего возможного значения $[\sqrt[3]{n}\,]$, где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Если попутно встречались решения с $x=0$ или с $y=z$, то они запоминались, но в общий файл не записывались. Их можно найти в отдельных файлах. Решения с $x<0$ есть в общем файле, но также собраны в отдельном файле — это фактически список тех $n$, для которых нет решений с $x\geqslant 0$.
Интересно, что здесь встретилось несколько больше решений с $y=z$, чем при $n\leqslant 0$.

-- Пн май 27, 2019 14:28:07 --

Четвёртый файл не присоединился.

-- Пн май 27, 2019 14:29:26 --

Ага, видимо, не больше трёх файлов на одно сообщение.


Вложения:
ResPM.txt [9.56 Кб]
Скачиваний: 11
ResPE.txt [12.12 Кб]
Скачиваний: 11
ResP0.txt [680 байт]
Скачиваний: 9
ResP.txt [332.06 Кб]
Скачиваний: 10
 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 15:09 


23/02/12
1920
gris в сообщении #1395520 писал(а):
vicvolf, вот специально для Вас

Вы даже проверили больше, чем я просил! Большое спасибо!!! :-)

Похоже, что гипотеза справедлива, хотя проверено очень мало чисел.

Возможно, контрпример существует для больших отрицательных чисел. Пока нет доказательства - сомнения могут быть!

Someone Отличная работа! Жаль, что нет количества решений с одним значением $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16823
Москва
Забыл написать, что для $1\leqslant n\leqslant 10000$ решение с самым большим по модулю отрицательным $x$ такое: $1303=(-43)^3+43^2+281^2$. Напоминаю, что речь идёт о решениях, удовлетворяющих условиям $x\neq 0$ и $0<y<z$. В случае $y=z$ есть ещё решение $1303=(-25)^3+92^2+92^2$.
Заметим, что для $n=-4362$ решение с $y=z$ обнаружено не было. Если оно и есть, то в нём либо $x<-79$, либо $x=-79$, а $y>399$ (второй вариант, как легко проверить, невозможен).

vicvolf в сообщении #1395656 писал(а):
Пока нет доказательства - сомнения могут быть!
Я в теории чисел не специалист. Поэтому либо сами ищите доказательство / опровержение, либо ждите, пока кто-нибудь сподобится.

-- Пн май 27, 2019 15:34:14 --

vicvolf в сообщении #1395656 писал(а):
Жаль, что нет количества решений с одним значением $n$.
Количество решений вполне может оказаться бесконечным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 15:46 


23/02/12
1920
Someone в сообщении #1395681 писал(а):
Количество решений вполне может оказаться бесконечным.
Я имел в виду среди Ваших решений, чтобы определить где выше плотность решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13600
Мне кажется, что для науки можно ограничиться миллионом. Очень большие числа встречаются крайне редко, и даже неизвестно, считают ли они вообще что-нибудь. Для бытовых применений десять тысяч вполне достаточно. Мощности компьютеров лучше задействовать на более полезные вещи. Я знаю такие: <################# >.
vicvolf, для Вашего любимого числа $-3$ я посчитал варианты представлений с большими кубами.
$-3=-1207^3+792^2+41926^2$
$-3=-1207^3+5702^2+41544^2$
$-3=-1207^3+24522^2+34016^2$
$-3=-1207^3+29488^2+29814^2$

$-3=-7204^3+55669^2+608910^2$

Как видите, чем дальше в лес, тем больше представлений.
То есть, если ограничить величины кубов и квадратов, то можно как-то составить гистограмму количества представлений, но с увеличением размеров допустимой зоны, она будет изменяться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 17:51 


23/02/12
1920
gris в сообщении #1395351 писал(а):
Вольфрам не любит уравнения с тремя переменными, но в данном случае выдаёт много:$-3=(-2)^3+1^2+2^2=(-4)^3+5^2+6^2=(-5)^3+11^2+2^2=...$

Да и среди малых тоже много. Если рассмотреть уравнение $k^3+m^2+n^2=-N, N \geq 0$, то решениями будет $$k \leq -[N^{1/3}],-[(-k^3-N)^{1/2}] \leq m  \leq  [(-k^3-N)^{1/2}], n=+-(-k^3-m^2-N)^{1/2}$$

Конечно количество значений $k$ - бесконечно и умножается на количество значений $m$ и затем на два значения $n$, если оно получается целым.

Все дело в последнем условии, так как $n$ может быть не целым, тогда решение пропускается.

Вот посмотрите в Вашем примере был пропущен вариант с $k=-3$. Вопрос заключается в том, сколько таких пропусков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13600
Ну и это не вопрос. Для отрицательных значений мы начинаем с целой части кубического корня из $N$. И определяем разность между $N$ и первым кубом, который не больше его. Нас интересует: представима ли эта разность в виде суммы квадратов. Потом уменьшаем эту целую часть на единицу и снова смотрим на разность. Вот последовательность разностей для $D(-3): 5,24,61,122...$. Уже привели критерий неразложимости чисел в сумму квадратов. Есть и последовательность A022544. Там чисел очень много. Увы, и $24$ там сидит :-(
Вопрос: существует ли число $-n$, для которого последовательность разностей $D(-n)$ целиком входит в указанную последовательность из OEIS. Тогда бы мы получили контрпример. Или же надо показать, что в любой последовательности $D(-n)$ обязательно найдутся числа, представимые в виде суммы квадратов. Скорее всего, так и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение28.05.2019, 12:07 


23/02/12
1920
Итак, гипотеза подтверждена для целых $N$ в диапазоне $-10000 \leq N \leq 10000$. В отношении $|N|>10000$ - максимум, что можно доказать с помощью метода Харди-Литтлвуда, что гипотеза справедлива почти для всех больших $N$. Может у ТС или других участников есть другой метод доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение29.05.2019, 12:29 


13/11/15
26
Вот пара ссылок, где можно найти доказательство
http://zakuski.utsa.edu/~jagy/Elkies_Kap.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/1039106/how-prove-this-diophantine-equation-x2y2z3-n-always-have-integer-solution

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение30.05.2019, 16:33 


23/02/12
1920
a1981 в сообщении #1396198 писал(а):
Вот пара ссылок, где можно найти доказательство
Большое спасибо!. Доказательство через алгебраические тождества очень красивое и короткое - всего 5 строчек. Доказательство методом Харди-Литтлвуда куда более трудоемкое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение30.05.2019, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13600
Да не напрягайтесь — мы проиграли :-(
У факториальщиков три просмотра осталось до пятисот, а у нас почти двадцать. Правда, они в загадошном разделе,там чаще смотрят. Ну ничего, Ktina ещё подгонит задачек. Отыграемся.
:D :D :D У нас 500 :!: :!: :!: И раньше.Так что наша команда выиграла! А я уже за троих расчитался. Ну да ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение31.05.2019, 06:31 


23/02/12
1920
А я и не видел тему с факториалами. Сейчас посмотрел.Жаль ТС не участвует в теме,Знала ли она об этом доказательстве?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group