Сумма куба и двух квадратов

[gris]

Наверное, можно даже усилить предположение: для каждого числа количество представлений бесконечно .

[Someone]

Проверил все натуральные $n$ от $1$ до $10000$. Для каждого найдено решение, удовлетворяющее дополнительным условиям $x\neq 0$ и $0<y<z$. Решения с $y=0$ не проверялись, но желающие могут легко найти их сами, если кому-то они интересны.
Значения $x$ перебирались, начиная с наибольшего возможного значения $[\sqrt[3]{n}\,]$, где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Если попутно встречались решения с $x=0$ или с $y=z$, то они запоминались, но в общий файл не записывались. Их можно найти в отдельных файлах. Решения с $x<0$ есть в общем файле, но также собраны в отдельном файле — это фактически список тех $n$, для которых нет решений с $x\geqslant 0$.
Интересно, что здесь встретилось несколько больше решений с $y=z$, чем при $n\leqslant 0$.

-- Пн май 27, 2019 14:28:07 --

Четвёртый файл не присоединился.

-- Пн май 27, 2019 14:29:26 --

Ага, видимо, не больше трёх файлов на одно сообщение.

[vicvolf]

gris в сообщении #1395520 писал(а):

vicvolf, вот специально для Вас

Вы даже проверили больше, чем я просил! Большое спасибо!!!

Похоже, что гипотеза справедлива, хотя проверено очень мало чисел.

Возможно, контрпример существует для больших отрицательных чисел. Пока нет доказательства - сомнения могут быть!

Someone Отличная работа! Жаль, что нет количества решений с одним значением $n$.

[Someone]

Забыл написать, что для $1\leqslant n\leqslant 10000$ решение с самым большим по модулю отрицательным $x$ такое: $1303=(-43)^3+43^2+281^2$. Напоминаю, что речь идёт о решениях, удовлетворяющих условиям $x\neq 0$ и $0<y<z$. В случае $y=z$ есть ещё решение $1303=(-25)^3+92^2+92^2$.
Заметим, что для $n=-4362$ решение с $y=z$ обнаружено не было. Если оно и есть, то в нём либо $x<-79$, либо $x=-79$, а $y>399$ (второй вариант, как легко проверить, невозможен).

vicvolf в сообщении #1395656 писал(а):

Пока нет доказательства - сомнения могут быть!

Я в теории чисел не специалист. Поэтому либо сами ищите доказательство / опровержение, либо ждите, пока кто-нибудь сподобится.

-- Пн май 27, 2019 15:34:14 --

vicvolf в сообщении #1395656 писал(а):

Жаль, что нет количества решений с одним значением $n$.

Количество решений вполне может оказаться бесконечным.

[vicvolf]

Someone в сообщении #1395681 писал(а):

Количество решений вполне может оказаться бесконечным.

Я имел в виду среди Ваших решений, чтобы определить где выше плотность решений.

[gris]

Мне кажется, что для науки можно ограничиться миллионом. Очень большие числа встречаются крайне редко, и даже неизвестно, считают ли они вообще что-нибудь. Для бытовых применений десять тысяч вполне достаточно. Мощности компьютеров лучше задействовать на более полезные вещи. Я знаю такие: <################# >.
vicvolf, для Вашего любимого числа $-3$ я посчитал варианты представлений с большими кубами.
$-3=-1207^3+792^2+41926^2$
$-3=-1207^3+5702^2+41544^2$
$-3=-1207^3+24522^2+34016^2$
$-3=-1207^3+29488^2+29814^2$

$-3=-7204^3+55669^2+608910^2$

Как видите, чем дальше в лес, тем больше представлений.
То есть, если ограничить величины кубов и квадратов, то можно как-то составить гистограмму количества представлений, но с увеличением размеров допустимой зоны, она будет изменяться.

[vicvolf]

gris в сообщении #1395351 писал(а):

Вольфрам не любит уравнения с тремя переменными, но в данном случае выдаёт много:$-3=(-2)^3+1^2+2^2=(-4)^3+5^2+6^2=(-5)^3+11^2+2^2=...$

Да и среди малых тоже много. Если рассмотреть уравнение $k^3+m^2+n^2=-N, N \geq 0$, то решениями будет

$$k \leq -[N^{1/3}],-[(-k^3-N)^{1/2}] \leq m \leq [(-k^3-N)^{1/2}], n=+-(-k^3-m^2-N)^{1/2}$$

Конечно количество значений $k$ - бесконечно и умножается на количество значений $m$ и затем на два значения $n$, если оно получается целым.

Все дело в последнем условии, так как $n$ может быть не целым, тогда решение пропускается.

Вот посмотрите в Вашем примере был пропущен вариант с $k=-3$. Вопрос заключается в том, сколько таких пропусков?

[gris]

Ну и это не вопрос. Для отрицательных значений мы начинаем с целой части кубического корня из $N$. И определяем разность между $N$ и первым кубом, который не больше его. Нас интересует: представима ли эта разность в виде суммы квадратов. Потом уменьшаем эту целую часть на единицу и снова смотрим на разность. Вот последовательность разностей для $D(-3): 5,24,61,122...$. Уже привели критерий неразложимости чисел в сумму квадратов. Есть и последовательность A022544. Там чисел очень много. Увы, и $24$ там сидит
Вопрос: существует ли число $-n$, для которого последовательность разностей $D(-n)$ целиком входит в указанную последовательность из OEIS. Тогда бы мы получили контрпример. Или же надо показать, что в любой последовательности $D(-n)$ обязательно найдутся числа, представимые в виде суммы квадратов. Скорее всего, так и есть.

[vicvolf]

Итак, гипотеза подтверждена для целых $N$ в диапазоне $-10000 \leq N \leq 10000$. В отношении $|N|>10000$ - максимум, что можно доказать с помощью метода Харди-Литтлвуда, что гипотеза справедлива почти для всех больших $N$. Может у ТС или других участников есть другой метод доказательства?

[a1981]

Вот пара ссылок, где можно найти доказательство
http://zakuski.utsa.edu/~jagy/Elkies_Kap.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/1039106/how-prove-this-diophantine-equation-x2y2z3-n-always-have-integer-solution

[vicvolf]

a1981 в сообщении #1396198 писал(а):

Вот пара ссылок, где можно найти доказательство

Большое спасибо!. Доказательство через алгебраические тождества очень красивое и короткое - всего 5 строчек. Доказательство методом Харди-Литтлвуда куда более трудоемкое.

[gris]

Да не напрягайтесь — мы проиграли
У факториальщиков три просмотра осталось до пятисот, а у нас почти двадцать. Правда, они в загадошном разделе,там чаще смотрят. Ну ничего, Ktina ещё подгонит задачек. Отыграемся.
У нас 500 И раньше.Так что наша команда выиграла! А я уже за троих расчитался. Ну да ладно.

[vicvolf]

А я и не видел тему с факториалами. Сейчас посмотрел.Жаль ТС не участвует в теме,Знала ли она об этом доказательстве?