Ищем целочисленные решения уравнения

, где

— заданное целое число; дополнительно я буду предполагать, что

,

,

. Для отрицательного

уравнение перепишем в виде

.
Используется следующая теорема:
Натуральное число
представляется суммой квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители каждый простой множитель вида
входит в чётной степени.Эту теорему используем для отсева тех

, при которых

заведомо не представляется суммой квадратов двух целых чисел. Найти затем

и

можно либо перебором, либо с помощью тождества

(я воспользовался перебором).
Wolfram Mathematica за несколько секунд проверила все

от

до

. Решения (с условием

) с наименьшим по модулю

, а для него — с наименьшим

, собраны в файле Res.txt.
В отдельном файле ResE.txt собраны решения с

для тех случаев, когда они имеют меньшее

.
Решения с

не искал.
Наибольший

оказалcя в решении

.
Да, забыл сказать, что решения существуют для всех

из рассмотренного диапазона.