2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 15:02 
Аватара пользователя


01/12/11
8399
Верно ли, что любое целое число представимо в виде суммы куба и двух квадратов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
Куб целого числа?
То есть, типа $-7=-8+0+1=-27+4+16$, а $7=-27+25+9=-1+4+4=-99^3+985^2+9^2$
Мне кажется, построить контрпример будет трудно :?:
Потому, что решения могут быть очень-очень большими, что даже в PARI какое-нибудь не влезут.
Вот ещё: $2019=-23^3+119^2+5^2$. Неужели недостаточно?
Вот если один квадрат оставить, то там куча таких: $6,7,11...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 17:15 
Аватара пользователя


01/12/11
8399
gris в сообщении #1395211 писал(а):
Куб целого числа?

Имеется в виду, что каждое целое число представимо в виде суммы куба целого числа и двух квадратов целых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
Я имел в виду, что можно целые отрицательные для куба. А то есть последовательность чисел, не представимых в виде суммы куба и двух квадратов натуральных от нуля чисел:
$7,15,22,24...$
А если разрешить куб и вычитать, то не видать непредставимых, даже и отрицательных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 21:14 


23/02/12
1919
gris в сообщении #1395252 писал(а):
А если разрешить куб и вычитать, то не видать непредставимых, даже и отрицательных.
Ну это не доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение25.05.2019, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
Я просто по ощущениям. Если перевести задачу в натуральные, то это будет уравнение $N=\pm n^3\pm(m^2+k^2)$. Эти плюс-минусы дают надежду. Если бы в формуле была разность квадратов (которой можно представить любое нечётное число), то доказательство было бы школьным. Это я на случай, если ТС переформулирует условие.
А так, наверное, можно через некоторые аддитивные, как Вы сказали, теоремы. Может быть, это вообще известное утверждение. Или вполне может существовать некоторое выражение типа $n=P^3(n)+R^2(n)+Q^2(n)$, где $P,R,Q$ многочлены. Кто такие задачки щёлкает, тот знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 07:30 


23/02/12
1919
gris
Если рассматривать данную задачу в натуральных числах. то она относится к тернарным аддитивным проблемам, которые решаются.методом Харди-Литтлауда. Окончательное решение было получено только Лежандром для суммы трёх квадратов. В остальных случаях показано, что почти все натуральные числа можно представить в таком виде. Если допустить представление натурального числа в целых числах, то плотность такого представления только возрастёт, поэтому контрпример в этой области искать не надо. Понятно что представление нуля в данном виде тривиально. Гораздо интереснее представление в таком виде отрицательных чисел. Плотность такого представления значительно ниже, поэтому контрпример стоит поискать в этой области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
vicvolf, а как вообще возможно построить контрпример, если множество претендентов на решение не ограничено, а никакие соображения из арифмоста не работают? Решение для отрицательных чисел эквивалентно решению уравнения $N=n^3-m^2-k^3$ в натуральных (с нулём). Даже в небольших числах можно начать последовательность решений:

$0-0-0;1-0-0;27-25-0;8-4-1;8-4-0;7^3-13^2-14^2;$

$8-1-1;8-1-0;8-0-0;125-100-16;...$

Но есть решения огромные: $360=609^3-14955^2-1488^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 11:14 


23/02/12
1919
gris Вольфрам не находит разложения в целых числах уже для $-3$. https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 3-%2B3%3D0

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
Вольфрам не любит уравнения с тремя переменными, но в данном случае выдаёт много.
$-3=(-2)^3+1^2+2^2=(-4)^3+5^2+6^2=(-5)^3+11^2+2^2=...$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+in+integer+(k%5E3%2Bm%5E2%2Bn%5E2%3D-3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 11:24 


23/02/12
1919
Странно для $-4$ и $-5$ находит. А Вы как проверяете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 18:08 


23/02/12
1919
Да, Вольфрам в очевидных случаях глючит и не дает решений https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... k%5E3%3D-7). Таким средством пользоваться нельзя.
Надо посмотреть есть ли решения для отрицательных значений хотя бы до -100? Думаю, должен быть контрпример. Помогите или порекомендуйте другое средство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
Да в начале списка можно и на глазок подыскивать, благо квадраты и кубы расположены часто. Можно и самому написать программку. Даже в эксельке. Я проверял уравнение $k^3-n^2-m^2=N$ в натуральных самым примитивным способом. Берём $L=\lfloor\sqrt [3] N\rfloor$, возводим в куб и вычитаем суммы квадратов, пока не получим ноль. Можно даже чуть оптимизировать. Потом проверяем $L++$ и так, пока не найдём решение или не дойдём до миллиона. Тогда можем сказать: в пределах миллиарда решений нет. Можно ли это назвать контрпримером? А вдруг решение вообще дальше гугла?
Я думаю, что это упражнение на устный счёт в самолёте или электричке. Интересно, конечно, прикоснуться к проблемам, помянуть высокие Имена, но относиться всерьёз без углубления... Впрочем, также, как в КХД или неголономной механике (см. соответств. высказывания авторитетов).
Это я про себя :-) Имею подчас желание влезть, куда не надо, и не всегда это желание подавляю. Вы, я думаю, разбираетесь в вопросе лучше. Вотъ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение26.05.2019, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13598
vicvolf, вот специально для Вас

(Оффтоп)

$-0=-0^3+0+0$
$-1=-1^3+0+0$
$-2=-3^3+3^2+4^2$
$-3=-2^3+1^2+2^2$
$-4=-2^3+2^2+0$
$-5=-7^3+13^2+13^2$
$-6=-2^3+1^2+1^2$
...
$-96=-5^3+5^2+2^2$
$-97=-11^3+3^2+35^2$
$-98=-7^3+14^2+7^2$
$-99=-5^3+5^2+1^2$
...
$-6551=-22^3+31^2+56^2$
$-6552=-20^3+38^2+2^2$

Код:
for (n=6543;n<6553;n++) {
   l=Math.floor(Math.exp(Math.log(n)/3));
   l3=l*l*l;
   if (l3==n) {trace("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+0"+"+0$") }
   else { ok=0; while (ok==0)
                      {l=l+1;l3=l*l*l;a=l3-n;
         b=Math.floor(Math.exp(Math.log(a)/2)); b2=b*b;
          if (b2==a) { trace ("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+"+b+"^2+0$");ok=1;}
          else {c=-1;  e=0; 
                                 while ((ok==0)&&(e<b))
                                        {e=e+1;c=c+2;a=a-c;
                     d=Math.floor(Math.exp(Math.log(a)/2)); d2=d*d;
                      if (d2==a) { trace ("$-"+n+"=-"+l+"^3"+"+"+e+"^2+"+d+"^2$");ok=1;}
                                  }
            };
                                if(l>100) {trace("failure");ok=1};
                         }

     }
}

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма куба и двух квадратов
Сообщение27.05.2019, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16823
Москва
Ищем целочисленные решения уравнения $x^3+y^2+z^2=n$, где $n$ — заданное целое число; дополнительно я буду предполагать, что $n\leqslant 0$, $x\neq 0$, $0<y<z$. Для отрицательного $n$ уравнение перепишем в виде $n-x^3=y^2+z^2$.

Используется следующая теорема: Натуральное число $N$ представляется суммой квадратов двух целых чисел тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители каждый простой множитель вида $4k+3$ входит в чётной степени.

Эту теорему используем для отсева тех $x$, при которых $n-x^3$ заведомо не представляется суммой квадратов двух целых чисел. Найти затем $y$ и $z$ можно либо перебором, либо с помощью тождества $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ (я воспользовался перебором).

Wolfram Mathematica за несколько секунд проверила все $n$ от $0$ до $-10000$. Решения (с условием $y<z$) с наименьшим по модулю $x$, а для него — с наименьшим $y$, собраны в файле Res.txt.
В отдельном файле ResE.txt собраны решения с $y=z$ для тех случаев, когда они имеют меньшее $x$.
Решения с $y=0$ не искал.

Наибольший $\lvert x\rvert$ оказалcя в решении $-4362=(-79)^3+399^2+574^2$.

Да, забыл сказать, что решения существуют для всех $n$ из рассмотренного диапазона.


Вложения:
ResE.txt [10.43 Кб]
Скачиваний: 15
Res.txt [332.1 Кб]
Скачиваний: 19
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group