Решил написать после чтения темы «Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?»,
topic98788.html.
Только в качестве примера рассматриваю задачу подбрасывания монетки до выпадения трех гербов подряд.
Данную задачу можно описать с помощью графа
![$$\xymatrix{B_1\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_2\ar@/^10pt/[ll]_{a}\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_3\ar@/^20pt/[llll]_{a}\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_4}$$ $$\xymatrix{B_1\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_2\ar@/^10pt/[ll]_{a}\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_3\ar@/^20pt/[llll]_{a}\ar@/^10pt/[rr]^{a}&&B_4}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/e/4ceb50322442cb1756a0f6f5332a6d0a82.png)
В качестве вершин графа принимаю состояния

- не выпало ни одного герба

- герб выпал однин раз

- герб выпал два раза подряд

- герб выпал три раза подряд
Традиционно, в качестве характеристики перехода рассматривается вероятность перехода из одного состояния в другое. В нашем случае

При желании, для данной задачи можно определить матрицу перехода

и вектор состояния

.
Состояние данной системы после каждого броска определяется произведением вектора состояния на матрицу перехода. Используя данный алгоритм, положив начальное условие

, можно определить функцию распределения случайной величины и ее характеристики, например математическое ожидание, то есть решить задачу «сколько раз надо бросить монету, что бы выпало 3 герба». К сожалению, этого сделать не удается, так как ряд, определяющий математическое ожидание расходится (см.
topic98788.html) . Это совсем не значит, что искомое математическое ожидание не существует. Для достижения поставленной цели, в среднем, достаточно сделать 14 бросков. (см. там же
topic98788.html).
Решил построить функцию распределения, правильность которой хочу проверить по математическому ожиданию. За основу беру ту же матрицу перехода V, которую несколько модернизирую.
В результате модернизации получаю целочисленную матрицу

Матрица M получается из матрицы V, если строки 1-4 матрицы V умножить на 2. Матрица M обладает следующим свойством, сумма всех элементов по ее строкам равняется 2.
Определение

-го значения функции распределения случайной величины

происходит по следующему правилу. Матрица

возводится в

-ю степень. В результате получается матрица

, которая умножается на вектор исходного состояния. В результате умножения получается вектор

, на основании которого вычисляется значение


По

определяются значения

как

Математическое ожидание числа бросков определяется по традиционной форме

Вычисления выполнены в Microsoft Excel с точностью до 5 знаков после запятой. После

Excel воспринимает вычисленную сумму, как 14.
Используемый в вычислениях подход взят из тем
topic105812.html и
topic111233.html. Предупреждаю, последняя тема закрыта за агрессивное невежество.
Не удержался, значения

посмотрел в энциклопедии целочисленных последовательностей. Оказывается, это последовательность A050231(см.
https://oeis.org/A050231), которая описана на английском языке, как
«

is the number of

-tosses having a run of 3 or more heads for a fair coin (i.e., probability is

)».
Яндекс сделал перевод данной фразы
«

-количество

-бросков, имеющих пробег 3 или более голов для справедливой монеты (т. е. вероятность равна

)».
Буду признателен за более корректный перевод на русский язык.
В заметке по данной последовательности есть ссылка на первый том В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения».
Признаюсь, информации по рассматриваемой задаче в книге не нашел. Может быть, кто-нибудь даст более точную ссылку?