2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:06 


22/04/15
6
Нашлась такая вот задача: имеется симметричная монетка; сколько в среднем раз её нужно подбросить, чтобы решка выпала два раза подряд?

Я рассуждаю так. Во-первых, мы имеем дело с бесконечной последовательностью испытаний с вероятностью "успеха" $p=\frac{1}{2}$. Под успехом я понимаю выпадение решки. Верно ли я понимаю, что нас интересует математическое ожидание от случайной величины $\xi$, ставящей в соответствие последовательности $(w_1,w_2,w_3\ldots)$ наименьшее такое $n$, что $w=(w_1,\ldots w_{n-2},0,1,1)$ и в последовательности $(w_1,\ldots w_{n-2})$ нет двух подряд идущих единиц?

Если так, то $$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot \mathbb{P}(\xi=k),$$ и нам только остаётся найти $\mathbb{P}(\xi=k)$, ну и сумму ряда, видимо. Нетрудно доказать индукцией, что число последовательностей длины $k+1$, у которых первая пара $(1,1)$ стоит на месте $k$ (в самом конце), равно числу Фибоначчи $f_k$. Это означает, что
$$\mathbb{P}(\xi=k)=\frac{f_k}{2^{k+1}},$$ откуда
$$\mathbb{E}[\xi]=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\frac{f_k}{2^{k+1}}.$$

Верно ли я интерпретирую условие задачи? Если так, то можно ли сказать что-нибудь вразумительное про сумму этого ряда? (похоже, что он расходится, не так ли?)

Честно говоря, это моё решение мне не нравится. Как бы подправить модель, чтобы не было никаких оговорок? А то тут случайная величина определена не во всякой точке (не определена в точке $(1,0,1,0,1,\ldots)$, к примеру). Или ничего страшного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:28 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
А обязательно через ряды считать? А то в данном случае можно гораздо проще.
Пусть $A_1$ - это среднее количество бросков если предыдущая была решка, а $A_0$ - если нет.
Теперь можно составить простую систему уравнений на эти величины и решить её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:32 


07/04/15
244
Пусть $E_n$ число бросков монеты для $n$ решек. Мы стоим в $E_{n-1}$. Тогда до $E_n$ нам с вероятностью $\frac{1}{2}$ один бросок -- выпадает решка и с вероятностью $\frac{1}{2}$ увидеть орла и начинать все заново. $E_n=\frac{1}{2}(E_{n-1}+1)+\frac{1}{2}(E_{n-1}+1+E_{n})$ и граничное условие $E_2=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:36 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
2old в сообщении #1030051 писал(а):
Пусть $E_n$ число бросков монеты для $n$ решек.
??? $n$ решек?
venco в сообщении #1030050 писал(а):
можно составить простую систему уравнений
$a=0.5(a+1)+0.5(0.5(a+2)+0.5\cdot 2)$ ЧЯДНТ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:44 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
2old в сообщении #1030051 писал(а):
Тогда до $E_n$ нам с вероятностью $\frac{1}{2}$ один бросок -- выпадает решка и с вероятностью $\frac{1}{2}$ увидеть орла и начинать все заново. $E_n=\frac{1}{2}(E_{n-1}+1)+\frac{1}{2}(E_{n-1}+1+E_{n})$ и граничное условие $E_2=0$
Заново - это ведь $E_0$, не так ли? А у вас что? И во втором слагаемом что делает $E_{n-1}$?

-- Вт июн 23, 2015 08:45:52 --

Nemiroff в сообщении #1030055 писал(а):
$a=0.5(a+1)+0.5(0.5(a+2)+0.5\cdot 2)$ ЧЯДНТ?
Слишком быстро и непонятно для ТС. Придётся объяснять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:48 


22/04/15
6
Да, что-то я не догоняю вас, товарищи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 15:56 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
MNikita в сообщении #1030064 писал(а):
Да, что-то я не догоняю вас, товарищи.
Ну смотрите. Пусть $a$ --- среднее число бросков, которое нам нужно будет сделать.
Если первым броском выпал орёл (вероятность этого $0.5$), то все придётся начинать сначала, так как монетка не имеет памяти. Среднее число бросков при таком сценарии выйдёт то же самое плюс один (несчастливый) бросок орла --- то бишь $0.5 \cdot (a+1)$.

Если первым броском выпала решка (вероятность этого $0.5$), то далее мы имеем два варианта.
Если вторым броском выпал орёл (вероятность решка-орёл $0.25$), то опять же придётся начинать сначала, и мы сделали два ненужных броска --- то бишь $0.25 \cdot (a+2)$.
Если вторым броском выпала решка (вероятность решка-решка $0.25$), то ура, мы выиграли, затратив два броска.

В сумме получаем $$a=0.5 \cdot (a+1) + 0.25 \cdot (a+2) + 0.25 \cdot 2$$
Отсюда $a=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение23.06.2015, 16:41 


07/04/15
244
venco
всё смешал: коней, людей :facepalm:

1. $E_k$ число оставшихся бросков, если уже выпало последовательно $k$ решек.
$E_{k}=0.5(E_{k+1}+1)+0.5(1+E_0)=1+0.5E_{k+1}+0.5E_0$ и $E_2=0$
Отсюда $E_0=6$

2.$E_n$ число необходимых бросков для $n$ последовательных решек.
$E_n=0.5(E_{n-1}+1)+0.5(1+E_n)$, отсюда $E_n=2E_{n-1}+2$
Тогда $E_n=2^{n+1}-2$ и $E_2=6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько бросать монетку, чтобы два раза подряд решка выпала?
Сообщение24.06.2015, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Кстати, ряд тоже правильный за исключением того, что должно стоять $(k+1)\cdot\dots$ вместо $k\cdot\dots$. Сумма равна 6, как ни странно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group