Дифференциал аргумента второго порядка

[Solaris86]

Учебник "Конспект лекций по высшей математике" Д.Т. Письменный (2015), страница 191.
$d^2x = d(dx) = d(1 \cdot dx) = dx \cdot d(1) = dx \cdot 0 = 0$
Не могу понять фрагмент выкладки $d(1 \cdot dx) = dx \cdot d(1)$.

[VanD]

В таких записях подразумевается, что $d$ не действует на $dx$, а только на выражение, стоящее перед $dx$. Если бы было $d(f(x)dx)$, то всё было бы наглядно:

$$d(f(x)dx) = d(f(x))\cdot dx = f'(x)dx\cdot dx = f'(x)dx^2$$

А в записи $d(dx)$ формально коэффициент перед $dx$ просто равен $1$, а $d(1) = 0\,dx$, то есть $d(dx) = 0\,dx^2$.

(Оффтоп)

А вообще, если честно, я не очень понимаю, зачем рассматривать дифференциалы высших порядков в таком смысле вне контекста цельных многочленов Тейлора (струй) или критических точек. Вроде же когда дело до них доходит замены всякие уже существенно нелинейными становятся.

[Munin]

VanD в сообщении #1394259 писал(а):

В таких записях подразумевается, что $d$ не действует на $dx$, а только на выражение, стоящее перед $dx$.

Что само по себе требует доказательства, и верно только в случае, когда $x$ независимая переменная.

Solaris86
Я посмотрел Босса, Фихтенгольца, Кудрявцева, Ильина-Позняка, Зорича - нигде нет ничего похожего на эту выкладку. Может быть, стоит этот материал изучить по другим источникам.

[Igrickiy(senior)]

Можно посмотреть Харди Курс чистой математики Глава VII

[VanD]

Munin в сообщении #1394261 писал(а):

VanD в сообщении #1394259 писал(а):

В таких записях подразумевается, что $d$ не действует на $dx$, а только на выражение, стоящее перед $dx$.

Что само по себе требует доказательства, и верно только в случае, когда $x$ независимая переменная.

Дык ведь так оно в озвученной изначально книжке и определяется. В ряде курсов это просто по определению будет. Вроде ничего важного при таком определении не теряется?

Зато куда проще получается конструкция. А иначе она на мой вкус какая-то недомотивированная выходит: уровень абстрактности взвинтили, а при этом работаем с отображениями линейных пространств, которые линейность не уважают. Но мы всё никак отстать от линейных структур не хотим, цепляемся за них из последних сил, вместо того, чтобы отдать их уже с концами в касательное пространство по-честному и ничего не отождествлять.

[Solaris86]

VanD в сообщении #1394259 писал(а):

В таких записях подразумевается, что $d$ не действует на $dx$, а только на выражение, стоящее перед $dx$. Если бы было $d(f(x)dx)$, то всё было бы наглядно:

$$d(f(x)dx) = d(f(x))\cdot dx = f'(x)dx\cdot dx = f'(x)dx^2$$

А в записи $d(dx)$ формально коэффициент перед $dx$ просто равен $1$, а $d(1) = 0\,dx$, то есть $d(dx) = 0\,dx^2$.

Вот, точно, спасибо!
Я сейчас перечитываю матан и стараюсь заполнить все пробелы.

Всем спасибо за ответы!

[svv]

Igrickiy(senior) в сообщении #1394263 писал(а):

Можно посмотреть Харди Курс чистой математики Глава VII

Скачал, просмотрел главу VII. О дифференциалах только один пункт 160. О втором дифференциале ничего. Дифференциал определяется как произведение производной и приращения независимой переменной. Поясните, пожалуйста, более конкретно, куда смотреть и как это помогает разобраться в вопросе.

[Igrickiy(senior)]

svv в сообщении #1394282 писал(а):

О дифференциалах только один пункт 160. О втором дифференциале ничего. Дифференциал определяется как произведение производной и приращения независимой переменной.

Я дал ссылку на Харди просто как на классика и дополнение к

Munin в сообщении #1394261 писал(а):

Я посмотрел Босса, Фихтенгольца, Кудрявцева, Ильина-Позняка, Зорича

Достаточно подробно этот вопрос обсуждается у А.Я.Хинчина в "Восьми лекциях....".

[svv]

А, ясно, спасибо.