Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

В.Сорокин

Цитата:

Показать неверность на примере - дело нехитрое.

Гораздо более хитрое дело, Сорокину недоступное, -- проверить свои вычисления прежде,чем их публиковать. Сколько электрончиков сэкономили бы.

"Электрончики" нужно тратить, а не экономить!
===================================

Описанное выше тождество имеет к ВТФ лишь символическое отношение. А вот более простое тождество:
(1°) $(x+1)(y+1)=xy+z+1$, где $x+y-z=0$,
является по сути половиной доказательства великой теоремы, если вместо чисел $x, y, z$ взять числа $a^n, b^n, c^n$.
И действительно, тогда из этого тождества и равенства Ферма легко следует, что каждая позитивная цифра $i$ в степени $n-1$ и в простой базе $n$ оканчивается на 01.
И тогда предпоследняя цифра суммы их $n$-х степеней равна
(2°) $(n-1)/2$, в то время как эта же самая сумма, вычисленная методом объединения в пары степеней цифр $i^n$ и $(n-i)^n$, оканчивается на 00.

========================

И это тождество, и указанное противоречие я сформулировал по отдельности еще в 1992-м году. И лишь сегодня заметил, как они работают вместе.

Весь используемый инструментарий был многократно обговорен и отточен на форуме. К сожалению, время не позволяет форсировать оформление изложения. Но в первую очередь подготовлю список всех используемых лемм.

[Алексей К.]

В.Сорокин в сообщении #139052 писал(а):

А вот более простое тождество... является по сути половиной доказательства великой теоремы,

Жизнь shwedki усложняется. Типа теперь наколачивать штуки вроде $316\frac{1}{2}$.
Вы, замечу, обещали тайм-аут.

В.Сорокин в сообщении #138730 писал(а):

Увы, уточненные расчеты не обнаруживают ни малейшей трещины в логике равенства Ферма.
Долгий тайм-аут.

[shwedka]

Триста шестнадцатое, ну , абсолютно же окончательное доказательство.

[Лукомор]

В.Сорокин в сообщении #139052 писал(а):

И лишь сегодня заметил, как они работают вместе.

Вместе они работать не будут...
Как итог завершившегося, я надеюсь, обсуждения,
хочу заметить, что отточив инструментарий, не нужно на этом останавливаться.
Его нужно еще аккуратно покрасить, и сдать в музей, ибо с таким интрументарием, как у Вас, ковыряться в ВТФ - абсолютно беспереспективное занятие.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Триста шестнадцатое, ну , абсолютно же окончательное доказательство.

Ошибаетесь сударыня. В простой базе n>3 это было первое доказательство. И с большой вероятностью запатентованное.

[Лукомор]

В.Сорокин писал(а):

shwedka писал(а):

Триста шестнадцатое, ну , абсолютно же окончательное доказательство.

Ошибаетесь сударыня. В простой базе n>3 это было первое доказательство. И с большой вероятностью запатентованное.

Круг замкнулся...
Теперь мы знаем величину цикла: 315 доказательств.
Поэтому 316 получает новое обозначение: первое доказательство второго цикла.

[В.Сорокин]

Лукомор писал(а):

Круг замкнулся...

Для вас - да. Для меня же, напротив, разомкнулся.
======================================

Доказательство ВТФ

Общеизвестно, что при взаимопростых $a, b, c$ числа $P-1$ и $Q-1$ в двойном равенстве
$a^n=aP=(c-b)Q$ [или $b^n=bP=(c-a)Q$] делится на $n^2$ (простое $n>2$), что – согласно Лемме – невозможно.
ВТФ доказана.
================
Понятно, дело осталось за Леммой, простое доказательство которой будет приведено в другой раз (полдоказательства я привел вчера).

[shwedka]

Цитата:

Леммой, простое доказательство которой будет приведено в другой раз,

а формулировка будет приведена еще когда-нибудь.

Цитата:

простое,

но неверное

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Цитата:

Леммой, простое доказательство которой будет приведено в другой раз,

1) а формулировка будет приведена еще когда-нибудь.

Цитата:

простое,

2) но неверное

1) непременно

2) непременно

=============
Теорема

Число $a^{n-1}-1$, где $a$ не делится на простое $n$,
делится на $n$ (малая теорема Ферма) и не делится на $n^2$ («средняя теорема Ферма»)

Доказательство «средней теоремы Ферма», или Леммы, методом от противного

Допустим, число $a^{n-1}-1$ делится на $n^2$ и, следовательно, в базе $n$ число $a^{n-1}$ оканчивается на $01$.

Рассмотрим число $a^n-1=(a-1)R$, где число $a-1$ не делится на $n$. Из формулы для $R$:
$R= a^{n-1}+…= a^{n-1}+[a^{n-1}-1]/(a-1) $ видно, что
число $a^{n-1}$ оканчивается на $01$, а
целое число $ [a^{n-1}-1]/(a-1) $ оканчивается на $00$.
В итоге, число $R$ оканчивается на $01$, а число $R-1$ оканчивается на $00$.

Следствие 1.
Уменьшение/увеличение последней цифры числа a на $1$ не изменяет значение предпоследней цифры в числе $a^n$.

Следствие 2.
Если двузначные окончания чисел $a$ и $R$ есть $01$, то двузначное окончание числа $a^*^n$, где число $a^*$ оканчивается на $0e$, где $0<e<n$, будет равно $0e$.

Сложив все $n-1$ чисел $a^*^n$ с окончаниями оснований от $01$ до $0(n-1) $ (здесь записаны две цифры!), мы находим, что предпоследняя цифра этой суммы не равна нулю, что противоречит значению ($00$) двузначного окончания этой суммы, вычисленной вне связи с условиями Леммы.

Лемма доказана.

[shwedka]

В.Сорокин

Цитата:

Теорема

Число $a^{n-1}-1$, где $a$ не делится на простое $n$,
делится на $n$ (малая теорема Ферма) и не делится на $n^2$ («средняя теорема Ферма»)

Все, конечно, верно,кроме примерчика
$a=8, n=3, a^2-1=63$, делится на $n^2=9$.

Цитата:

Следствие 1.
Уменьшение/увеличение последней цифры числа a на $1$ не изменяет значение предпоследней цифры в числе $a^n$.

тоже почти верно
$n=5, a=2; \ 2^5=32=.12_5, \ 3^5=243=..33_5$,

1=3

Ждем абсолютно окончательного доказательства номер триста семнадцать.

Давайте пари. Если триста двадцать пятое окончательное доказательство ВТФ Сорокиным окажется ошибочным, он сбривает бороду и в подтверждение публикует фото. Назовите сами мою ставку.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Все, конечно, верно,кроме примерчика
$a=8, n=3, a^2-1=63$, делится на $n^2=9$[/quote]
Спасибо, порадовали. Но две маленькие вещи пропустили.
1. Моя Лемма доказала утверждение о том, что в простой базе $n>2$ существует такая цифра $e$, что $e^{n-1}-1$ не делится на $n^2$.
2. И этого вполне достаточно для доказательства и доказанности ВТФ.
Жаль, конечно, что мощность Леммы пришлось урезать.

[shwedka]

В.Сорокин

Цитата:

И этого вполне достаточно для доказательства и доказанности ВТФ.

Ни достаточности, ни доказательства, ни доказанности не наблюдается. Уж точно я не собираюсь складывать разрозненные фрагменты, к одному из которых, следствию 1, имеется контрпример.
Приведите полное рассуждение, одним куском, со всеми объяснениями, тогда будет что обсуждать, а до тех пор -- доказательство отсутствует.

У Вас замечательная репутация человека, провравшегося сотни раз и неспособного критически рассматривать свои тексты. Поэтому, пока не будут выписаны все малейшие детали, ни малейшего доверия Вам не будет ни у кого.Так что можете не беспокоиться делать эмоциональные заявления о сомнительном прогрессе.

А как насчет пари???

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Приведите полное рассуждение, одним куском, со всеми объяснениями, тогда будет что обсуждать, а до тех пор -- доказательство отсутствует.

Для доказательства ВТФ может оказаться достаточной и значительно более слабая Лемма: существование такой цифры $e$ в условиях равенства Ферма. Для доказательства ВТФ достаточно одной, наименьшей, цифры $e$.
(В контрпримере shwedki вместо цифры $a=2$ или хотя бы ее третьей степени a $ =2^{3k}$ (в троичной системе) взято число $22$, что под Лемму в новой редакции не подходит.)

При наличии $e$ доказательство ВТФ сводится к преобразованию (с помощью умножения равенства Ферма на соответствующее $d^{nn}$) двузначного окончания числа $a$ в $01$ и затем умножения равенства на $e^{nn}$. В результате чего сомножитель $P$ НЕ будет оканчиваться на $01$, как того требует равенство Ферма.

Госпожа shwedka может пропустить эти рассуждения, предназначенные для тех, кто хочет ПОНЯТЬ процесс нахождения решения, а не только получить в руки результат.

И насчет пари: в азартные игры не играю.

[shwedka]

В.Сорокин

Цитата:

процесс нахождения решения

Происходящее к этому жанру не относится.

Не буду, пожалуй, больше комментировать Ваши бессвязные выкрики. Надоело. Оставайтесь один на один со своими ошибками. Никто вам все равно не поверит. Возможно, вернусь на четырехсотом совершенно и абсолютно окончательном доказательстве.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Никто вам все равно не поверит.

В верующих не нуждаюсь.
======================

Изложение доказательства в другом порядке. Часть первая.

***

Всюду в тексте все числа целые и записаны в простой базе $n>2$.

Теорема.

Двузначное окончание числа $e^{n-1}-1$, где $1<e<n $, не равно $01$.

Доказательство от противного.
Допустим, число $e^{n-1}-1$ делится на $n^2$ и, следовательно, число $e^{n-1}$ оканчивается на $01$.
Но тогда на $01$ оканчивается и число $g^{n-1}-1$, где $1<g<n $ и цифра $g$ отлична от $e$.

Рассмотрим число $e^n-g^n =(e-g)R$, где числа $e-g$ не делится на $n$. Из формулы для $R$:
$R= e^{n-1}+…+ g^{n-1}=e^{n-1}+g[e^{n-1}-g^{n-1}]/(e-g)$ видно, что
число $e^{n-1}$ оканчивается на $01$, а целое (!) число $[e^{n-1}-g^{n-1}]/(e-g)$ оканчивается на $00$.
В итоге, число $R$ оканчивается на $01$, а число $R-1$ оканчивается на $00$.

Но если для всех цифр $e$, где $1<e<n$, числа $e^{n-1}-1$ оканчиваются на 01, то двузначные окончания всех позитивных чисел $e^n$ есть $0e$, где $0e$ – цифровая запись окончания. И в этом случае предпоследняя цифра в сумме $n$-х степеней всех цифр от $1$ до $n-1$ есть $(n-1)/2$, что противоречит действительному значению этой суммы, кратной $n^2$.

Теорема доказана. (По-видимому, П.Ферма нашел ее доказательство сразу же вслед за доказательством малой теоремы.)

***