Существует ли предел?

[Slow]

Someone

Someone в сообщении #1393830 писал(а):

Подходящая для чего?

Подходящая под описание "имеет предел в интервале $(0,1)$"

Someone в сообщении #1393830 писал(а):

И что с ними не так?

Не так с ними то, что они не лежат в подмножестве для элементов которого доказывается отсутствие предела в $(0,1)$.

Someone в сообщении #1393830 писал(а):

По-моему, Вам уже изложили полное решение

Более того, полное решение есть в стартовом посте, просто на момент его написания я не был уверен в его полноте. Сейчас я пытаюсь разобраться как решить эту задачу с помощью подсказки TOTAL.

Someone в сообщении #1393830 писал(а):

Почему Вы вдруг решили, что непериодические последовательности чем-то хуже периодических?

Я так вдруг решил потому, что мне показалось, что из

mihaild в сообщении #1393795 писал(а):

Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

Ответ - да

Делается вывод об отсутствии предела в $(0,1)$ для всех последовательностей, хотя конкретно в этом рассуждении рассматриваются только периодические.

mihaild
До сих пор не понимаю как

mihaild в сообщении #1393860 писал(а):

А для этого подмножества выполнено и другое свойство (вообще говоря, не связанное с наличием предела) - последовательности, им задаваемые, стремятся к периодической.

доказывает не существование для всех.

[Someone]

Slow в сообщении #1393885 писал(а):

Не так с ними то, что они не лежат в подмножестве для элементов которого доказывается отсутствие предела в $(0,1)$.

Лежат. Вам это объяснили, но Вы не думаете.

Slow в сообщении #1393885 писал(а):

Делается вывод об отсутствии предела в $(0,1)$ для всех последовательностей, хотя конкретно в этом рассуждении рассматриваются только периодические.

Не делается. Вы спросили о периодических последовательностях, Вам о них ответили.

Лучше всего, если Вы забудете о периодических последовательностях и будете думать обо всех последовательностях, кроме тех, для которых доказано существование предела. Чем они характеризуются?

[mihaild]

Slow в сообщении #1393885 писал(а):

Сейчас я пытаюсь разобраться как решить эту задачу с помощью подсказки TOTAL

Я не вижу в этой теме такой подсказки. Я вижу вопрос от TOTAL, который с вашей задачей не связан.

Slow в сообщении #1393885 писал(а):

До сих пор не понимаю как

mihaild в сообщении #1393860 писал(а):

А для этого подмножества выполнено и другое свойство (вообще говоря, не связанное с наличием предела) - последовательности, им задаваемые, стремятся к периодической.

доказывает не существование для всех.

Никак. Оно и не претендует.

[Someone]

Slow в сообщении #1393885 писал(а):

полное решение есть в стартовом посте, просто на момент его написания я не был уверен в его полноте.

Slow в сообщении #1393458 писал(а):

Сомнения у меня из-за того, что в ходе решения не нужно исследовать как ведут себя члены $a_n=\sin(a_{n-1})$.

Разумеется, нужно. Но не в такой форме.
Пусть $x\in[0,1]$. Какие значения может принимать выражение $\frac{x+1}3$ и какие — $\sin x$? От этого и пляшите.