Сколько ориентаций возможно в пространстве?

[Neopoznanno]

Пусть $\mathbb A^n$ - множество базисов в $\mathbb R^n$. Ориентацией на $\mathbb A^n$ назовём функцию $\Theta: \mathbb A^n \rightarrow \{-1, 1\}$ такую, что:
1) $\Theta$ непрерывная
2) $\Theta$ кососимметричная.

Сколько ориентаций возможно в пространстве?
Мои мысли по этому вопросу:
Если я рассматриваю одномерный случай, то, на мой взгляд, у меня есть 4 реализации этой функции. Т. е. если у меня есть нормированный базис, то это либо вектор $\{1\}$, либо вектор $\{-1\}$ и каждый из случаев может перейти либо в 1, либо в -1. Рассуждая подобным образом, получается, что в пространстве у меня возможно $2^n$ ориентаций. Так ли это?

[arseniiv]

Свяжите эту ориентацию с 1-формами на высшей внешней степени $\Lambda^n V$ интересующего векторного пространства $V$, отсюда будет вообще прозрачно, сколько их. Кстати незачем брать вот прям $\mathbb R^n$, канонический базис и скалярное произведение нам не нужны.

-- Пт май 17, 2019 20:39:53 --

В терминах базисов вроде ориентацию удобнее определять чуть иначе. Сначала вводят одинаковую ориентированность двух базисов как положительность определителя матрицы перехода, потом ориентация — это функция как у вас, но требование к ней одно — согласованность с отношением одинаковой ориентированности.

[Slav-27]

Очень нестандартное обозначение $\mathbb A^n$, не используйте его, пожалуйста, так обозначают $n$-мерное аффинное пространство. И, возможно, нестандартное определение ориентации: что значит "кососимметрическая"? И что значит "непрерывная"?

Neopoznanno в сообщении #1393684 писал(а):

Если я рассматриваю одномерный случай, то, на мой взгляд, у меня есть 4 реализации этой функции. Т. е. если у меня есть нормированный базис, то это либо вектор $\{1\}$, либо вектор $\{-1\}$ и каждый из случаев может перейти либо в 1, либо в -1.

Всех непрерывных функций действительно 4 (но вы этого не доказали: не все базисы нормированные), при стандартном определении ориентации не все они дают ориентацию.

Neopoznanno в сообщении #1393684 писал(а):

Рассуждая подобным образом, получается, что в пространстве у меня возможно $2^n$ ориентаций. Так ли это?

Не так: непонятно, вы не задали функции и не доказали, что непрерывны.

[Munin]

Slav-27 в сообщении #1393809 писал(а):

И, возможно, нестандартное определение ориентации: что значит "кососимметрическая"? И что значит "непрерывная"?

Непрерывная функция - это буквально значит, непрерывная по своим параметрам. Параметрами данной функции являются базисные векторы, топология в $\mathbb R^n$ стандартная, на $\{-1, 1\},$ очевидно, дискретная.

Кососимметрическая функция нескольких параметров - это меняющая знак при перестановке своих параметров: $f(\ldots,a,\ldots,b,\ldots)=-f(\ldots,b,\ldots,a,\ldots).$

-- 18.05.2019 17:08:38 --

Neopoznanno в сообщении #1393684 писал(а):

Если я рассматриваю одномерный случай, то, на мой взгляд, у меня есть 4 реализации этой функции. Т. е. если у меня есть нормированный базис, то это либо вектор $\{1\}$, либо вектор $\{-1\}$ и каждый из случаев может перейти либо в 1, либо в -1.

Лучше рассматривать не нормированные, а произвольные базисы. Изучите, где ваша функция не определена, то есть где $n$-ки векторов не являются базисами.

Neopoznanno в сообщении #1393684 писал(а):

Рассуждая подобным образом, получается, что в пространстве у меня возможно $2^n$ ориентаций. Так ли это?

Ваше рассуждение не получается правильно перенести даже на случай размерности 2. Рассмотрите внимательно эту размерность.

[vpb]

Neopoznanno
См. П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры (издание 1969 г.; не путать с книгой с похожим названием, изданной позже!), глава IX. Там всё написано.
(А про 1-формы на высшей внешней степени --- это коллега типа прикалывается. )

[arseniiv]

Не, почему, вон в Кострикине есть похожее определение с элементом объёма, но там как раз хуже, там требуется скалярное произведение ещё (не очень ясно, зачем, если можно без него). И он предлагает связать его с определением через определитель матрицы перехода.

[vpb]

arseniiv в сообщении #1393825 писал(а):

вон в Кострикине есть

А в каком месте (том, глава, параграф) ?
Neopoznanno
Я слегка попутал, в Александрове только трехмерное пространство в 9 главе рассматривается, вроде. Тем не менее.

[arseniiv]

В конце раздела о тензорах и главы о внешней алгебре в задачах (последняя), сейчас найду и скажу точные названия.

-- Сб май 18, 2019 20:02:08 --

(Том 2 «Введения в алгебру», линейная.) Гл. 6 Тензоры, §3 Внешняя алгебра, упр. 5. В издании 2000 года это с. 297.

-- Сб май 18, 2019 20:03:12 --

Он там немного схитрил, кучку определений оставил на упражнения, так что для решения этого упражнения читателю придётся решить предыдущие.

[vpb]

arseniiv
Понял. Ну так смотрите. Можно рассмотреть два определения ориентации:
(а) Рассмотреть классы эквивалентности базисов, где два базиса считаются эквивалентными, если матрица перехода имеет положительный определитель (то есть как в ПСА), и ориентацией считается выбор класса;
(б) Рассмотреть старшую внешнюю степень (которая одномерна), и ориентацией считается выбор базисного элемента в ней, с точностью до умножения на положительное число.
Кострикин ставит вопрос так. (а) считается "основным" определением, а читателю предлагается подумать о том, что (б) --- это на самом деле то же самое. Всё честно: новое, более сложное, связывается со старым, более простым. А Вы предлагаете клиенту взять (б) за основное определение. При таком подходе, с моей точки зрения, у клиента запутываются мозги, потому что (а) --- проще и нагляднее, и вообще по здравому смыслу "ориентация пространства" --- это сущность гораздо более простая, чем "внешняя степень". В общем, как-то так.

[arseniiv]

vpb в сообщении #1393841 писал(а):

А Вы предлагаете клиенту взять (б) за основное определение.

Ну, раз он начал с чего-то похожего, я и вспомнил его первее, и оно в манипуляциях должно быть чуть проще его. (Нет непрерывности — нет проблем.) А дальше я в том же сообщении подход с базисами тоже честно упоминал:

arseniiv в сообщении #1393686 писал(а):

В терминах базисов вроде ориентацию удобнее определять чуть иначе. Сначала вводят одинаковую ориентированность двух базисов как положительность определителя матрицы перехода, потом ориентация — это функция как у вас, но требование к ней одно — согласованность с отношением одинаковой ориентированности.

[Munin]

С другой стороны, изучив что-то крутое, всегда хочется "посмотреть на элементарные вещи с точки зрения высших".

[arseniiv]

Если начать немножко оффтопить, меня приятно удивила непрерывность в определении ТС. Из-за того, что линейно зависимые наборы не образуют базисы, она даёт ровно то что надо: соориентированные базисы должны иметь один и тот же прообраз, а разноориентированные не должны. Ну а антисимметричность убивает тривиальные постоянные «ориентации». С другой стороны, в определениях с базисами и формами непрерывность не упоминается, и это должно упрощать работу с ними; интуитивно-то видно, к чему она приводит, но вот доказывать это строго у меня желание сразу пропадает. А внешнюю алгебру я более-менее умею.

-- Сб май 18, 2019 21:39:22 --

Кстати самое лично для меня определение ориентации — это то, что меняется при отражении. Это нечестно вводит в игру ортогональную группу (если мы говорим именно об отражении, а не просто об инволюции с определителем −1), но всё остальное выглядит как-то дальше от наивного смысла. Возможно потому что в текстах школьного уровня и по математике, и по физике ориентация связывается всегда именно с отражениями.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1393849 писал(а):

Если начать немножко оффтопить, меня приятно удивила непрерывность в определении ТС.

Всё бы хорошо, но из-за этого не получится перенести это определение на какие-то дискретные случаи. А в $\mathbb{Z}^n$ ориентация тоже, наверное, есть, потому что есть $\det$ и его знак.

-- 18.05.2019 20:30:34 --

(Оффтоп)

А вот в $\mathbb{Z}_p^n$ ориентации уже, наверное, нет...

[arseniiv]

Munin в сообщении #1393857 писал(а):

Всё бы хорошо, но из-за этого не получится перенести это определение на какие-то дискретные случаи.

А, ну я заранее решил, что подходит только поле $\mathbb R$ (хотя есть ведь как минимум вопиющий же пример $\mathbb Q$). Да, $\mathbb Z$ хороший контрпример, там явно должно быть можно говорить об ориентации. Как понимаю, в кольце, позволяющем это, должен быть возможен линейный порядок (и плюс чтобы $1>0$). Кто-то знает, класс таких колец как-то удобно охарактеризован?

Интересно будет, если на некоторых кольцах подход с формой не пройдёт.

Munin в сообщении #1393857 писал(а):

А вот в $\mathbb{Z}_p^n$ ориентации уже, наверное, нет...

Ну зря вы в оффтопе, действительно не должно быть. И в $\mathbb C^n$, окружность-то связная. Хм. Или у нас будет целая окружность ориентаций? Никогда раньше не задумывался!

[Slav-27]

Munin в сообщении #1393818 писал(а):

Кососимметрическая функция нескольких параметров - это меняющая знак при перестановке своих параметров: $f(\ldots,a,\ldots,b,\ldots)=-f(\ldots,b,\ldots,a,\ldots).$

При таком толковании его определение "ориентации" нестандартно и у $\mathbb R$ "ориентаций" действительно 4.

-- 19.05.2019, 02:12 --

У меня "ориентация" вызывает 2 ассоциации:
1. "Непрерывная": то, что сохраняет связная компонента единицы группы симметрий. Например, у пространства Минковского 4 ориентации (2 временные и 2 пространственые), потому что у группы Лоренца 4 связные компоненты.
2. "Дискретная": выбор образующей. Например, ориентация $\mathbb Z^n$ -- выбор изоморфизма $\Lambda^n\mathbb Z^n \cong \mathbb Z$ (вместо $\mathbb Z$ можно любое кольцо). Или $R$-ориентация компактного многообразия: выбор изоморфизма $H^m(M,R)\cong R$ ($m$ -- размерность, $R$ -- любое кольцо). (Не любое многообразие ориентируемо.)