Как сделать нормальную замену

[nardu]

Всем привет! Имеется дифференциальное уравнение Эмдена-Фаулера из астрофизики
$(\xi^{2}\eta {}' ){}'+\xi ^{\lambda }\eta^{n}=0$
и так же имеется замены для этого уравнения
$x=\xi \eta{}'/\eta$
$y=\xi ^{\lambda-1 }\eta^{n}/\eta{}'$
$t=\ln|\xi|$
Так вот, при попытке заменить переменные приходил к вот такому результату (при $\xi > 0$)
$2e^{t}x+e^{t}\eta{}''+\eta xy=0$
Так вот, прошу помощи как сделать эту замену нормально, либо хоть направить в нужное русло, потому что сейчас не могу придумать что с этим делать. Пытался сделать это даже с Maple, но там все еще хуже.

[svv]

Поясните, пожалуйста. У Вас была одна независимая переменная $\xi$ (я уточнил в Википедии: дифференцирование именно по ней) и одна зависимая переменная $\eta$.
После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?

[nardu]

svv в сообщении #1392871 писал(а):

Поясните, пожалуйста. У Вас была одна независимая переменная $\xi$ (я уточнил в Википедии: дифференцирование именно по ней) и одна зависимая переменная $\eta$.
После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?

Мне нужно показать, что это уравнение, после указаных замен будет эквиваленто модели "хищник-жертва"
$x{}'=-x(1+x+y)$
$y{}'=y(\lambda +1+nx+y)$
И если я верно понял задание, то уравнение Эмдена-Фаулера можно либо свести к написаной выше системе, либо же решить его и систему, и показать, что их решение эквиваленты друг другу.

[svv]

Понятно.
Разделите исходное уравнение на $\eta$.
В первом слагаемом внутри скобок выделите $x$.
Второе слагаемое просто выражается через $x$ и $y$.
Возьмите внешнюю производную в первом слагаемом.
...
Надеюсь, этого импульса будет достаточно, чтобы получить первое уравнение ($x'=...$).

[Padawan]

svv в сообщении #1392871 писал(а):

После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?

Уравнение второго порядка можно записать как систему из двух уравнений первого порядка с тремя неизвестными, $\xi,\eta,p=\eta'$. Вот для неё и делаем замену. Интегральные кривые этой системы представляют кривые в трёхмерном пространстве. В этом трёхмерном пространстве можно вводить любые координаты $(u,v,w)$. Система задает в любой данной точке пространства направление касательного вектора к интегральной кривой, которое можно в этих координатах записать в виде $a_1du+b_1dv+c_1dw=0, a_2du+b_2dv+c_2dw=0$. И теперь можно любою из переменных принять в качестве независимой переменной и поделить на ее дифференциал.
По сути все эти задачи на замену переменной - упражнения по линейной алгебре, дополненные операцией дифференцирования.

[svv]

Спасибо, Padawan. Мне после стартового сообщения было вот что непонятно. Мы можем легко свести уравнение к системе уравнений первого порядка так:
$\eta'=\xi^{-2}z$
$z'=-\xi ^{\lambda }\eta^{n}$
И если цель только в этом, то непонятны проблемы ТС. Если же от системы уравнений первого порядка требуются ещё какие-то свойства, хотелось бы их знать (ТС ответил, что требуется конкретный вид).
Я подумал, что хитрая замена делается с целью найти решения ДУ, но тогда непонятно, почему вводятся две зависимые переменные.