2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как сделать нормальную замену
Сообщение13.05.2019, 18:55 


13/05/19
2
Всем привет! Имеется дифференциальное уравнение Эмдена-Фаулера из астрофизики
$(\xi^{2}\eta {}' ){}'+\xi ^{\lambda }\eta^{n}=0$
и так же имеется замены для этого уравнения
$x=\xi \eta{}'/\eta$
$y=\xi ^{\lambda-1 }\eta^{n}/\eta{}'$
$t=\ln|\xi|$
Так вот, при попытке заменить переменные приходил к вот такому результату (при $\xi > 0$)
$2e^{t}x+e^{t}\eta{}''+\eta xy=0$
Так вот, прошу помощи как сделать эту замену нормально, либо хоть направить в нужное русло, потому что сейчас не могу придумать что с этим делать. Пытался сделать это даже с Maple, но там все еще хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как сделать нормальную замену
Сообщение14.05.2019, 02:04 
Заслуженный участник


23/07/08
7854
Харьков
Поясните, пожалуйста. У Вас была одна независимая переменная $\xi$ (я уточнил в Википедии: дифференцирование именно по ней) и одна зависимая переменная $\eta$.
После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как сделать нормальную замену
Сообщение14.05.2019, 14:15 


13/05/19
2
svv в сообщении #1392871 писал(а):
Поясните, пожалуйста. У Вас была одна независимая переменная $\xi$ (я уточнил в Википедии: дифференцирование именно по ней) и одна зависимая переменная $\eta$.
После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?


Мне нужно показать, что это уравнение, после указаных замен будет эквиваленто модели "хищник-жертва"
$x{}'=-x(1+x+y)$
$y{}'=y(\lambda +1+nx+y)$
И если я верно понял задание, то уравнение Эмдена-Фаулера можно либо свести к написаной выше системе, либо же решить его и систему, и показать, что их решение эквиваленты друг другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как сделать нормальную замену
Сообщение14.05.2019, 20:00 
Заслуженный участник


23/07/08
7854
Харьков
Понятно.
Разделите исходное уравнение на $\eta$.
В первом слагаемом внутри скобок выделите $x$.
Второе слагаемое просто выражается через $x$ и $y$.
Возьмите внешнюю производную в первом слагаемом.
...
Надеюсь, этого импульса будет достаточно, чтобы получить первое уравнение ($x'=...$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как сделать нормальную замену
Сообщение15.05.2019, 11:54 


13/12/05
3551
svv в сообщении #1392871 писал(а):
После замены у Вас одна независимая переменная (вероятно, $t$) и две зависимые $x, y$? Каков смысл?

Уравнение второго порядка можно записать как систему из двух уравнений первого порядка с тремя неизвестными, $\xi,\eta,p=\eta'$. Вот для неё и делаем замену. Интегральные кривые этой системы представляют кривые в трёхмерном пространстве. В этом трёхмерном пространстве можно вводить любые координаты $(u,v,w)$. Система задает в любой данной точке пространства направление касательного вектора к интегральной кривой, которое можно в этих координатах записать в виде $a_1du+b_1dv+c_1dw=0, a_2du+b_2dv+c_2dw=0$. И теперь можно любою из переменных принять в качестве независимой переменной и поделить на ее дифференциал.
По сути все эти задачи на замену переменной - упражнения по линейной алгебре, дополненные операцией дифференцирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как сделать нормальную замену
Сообщение15.05.2019, 14:19 
Заслуженный участник


23/07/08
7854
Харьков
Спасибо, Padawan. Мне после стартового сообщения было вот что непонятно. Мы можем легко свести уравнение к системе уравнений первого порядка так:
$\eta'=\xi^{-2}z$
$z'=-\xi ^{\lambda }\eta^{n}$
И если цель только в этом, то непонятны проблемы ТС. Если же от системы уравнений первого порядка требуются ещё какие-то свойства, хотелось бы их знать (ТС ответил, что требуется конкретный вид).
Я подумал, что хитрая замена делается с целью найти решения ДУ, но тогда непонятно, почему вводятся две зависимые переменные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group