Оптимальная форма носа самолета

[Sicker]

Как-то давно наш препод в математическом кружке говорил, что Ньютон рассчитал оптимальную форму носа самолета, т.е. нос самолета должен быть не острым, как казалось, а таким вот скругленным. Тут наверное минимизация какого-то функционала, но вот какого? Если силы давления воздуха, то она вроде не зависит от формы поверхности

[DimaM]

Sicker в сообщении #1392476 писал(а):

Как-то давно наш препод в математическом кружке говорил, что Ньютон рассчитал оптимальную форму носа самолета, т.е. нос самолета должен быть не острым, как казалось, а таким вот скругленным.

Похоже на анекдот - когда был Ньютон, и когда появились самолеты.

Sicker в сообщении #1392476 писал(а):

Тут наверное минимизация какого-то функционала, но вот какого? Если силы давления воздуха, то она вроде не зависит от формы поверхности

Минимизация какого-то функционала - это, по-моему, не Ньютон, а примерно начиная с Эйлера. Обтекание тел - Стокс, Жуковский, Прандтль, все заметно позднее Ньютона.

[Guvertod]

(Оффтоп)

Кажется, истребители и сверхзвуковые пассажирские с ним не особо согласны...

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1392478 писал(а):

Обтекание тел - Стокс, Жуковский, Прандтль, все заметно позднее Ньютона.

Несколько раньше появились эмпирические методы расчета корпусов судов (тоже ведь обтекание), но, кажется, во времена Ньютона считать и это вообще никто и никак не пытался.

[wrest]

Sicker в сообщении #1392476 писал(а):

Как-то давно наш препод в математическом кружке говорил, что Ньютон рассчитал оптимальную форму носа самолета,

Ньютон довольно крупно ошибся в "Началах ..." насчет сопротивления в среде, хотя и сделал довольно много точных опытов, качая маятник в жидкостях. Так что вряд ли он мог что-то хорошее на эту тему рассчитать.

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1392476 писал(а):

Тут наверное минимизация какого-то функционала, но вот какого?

Однажды на втором курсе выводил уравнение "формы носа" ракеты летящей через пылевое облако состоящее из неподвижно висящих в невесомости мелких дробинок. Исходил из того, что прочность материала "носа ракеты" везде одинаковая, а значит надо распределить "нагрузку" от барабанящих дробинок равномерно. То есть область с большим углом атаки должна быть поменьше, а область с малым углом атаки можно сделать побольше. Сейчас помню только то, что решение полученного уравнения я искал в виде ряда по нечётным степеням (то есть наконечник ракеты - острый):

$$ x(r) = C_1 r + C_3 r^3 + C_5 r^5 + \ldots $$

Здесь $x$ - координата вдоль длины ракеты, $r$ - радиус ракеты на расстоянии $x$ от кончика носа. Показал преподавателю по теормеху, он мне сказал, что на экзамене мне за это будет плюс один балл. Никаких других подробностей уже не помню.

[Sicker]

SergeyGubanov
Я не очень понял, что вы распределяли Если давление на единицу площади, то оно зависит от угла площадки к нормали, тогда нос должен быть плоским, чтобы было везде равномерно. Если общее давление, то оно не зависит от формы носа

[SergeyGubanov]

Sicker, я сейчас уже не помню, вроде была минимизация радиальной нагрузки:

$$ S = \int\limits_{0}^{R} \cos(\alpha) \, dr = \int\limits_{0}^{L} \sin(\alpha) \, dx, \qquad \tg(\alpha) = \frac{dr}{dx}. $$

[Sicker]

SergeyGubanov в сообщении #1392651 писал(а):

Здесь $x$ - координата вдоль длины ракеты, $r$ - радиус ракеты на расстоянии $x$ от кончика носа

Не понял, может быть $r(x)$?

-- 13.05.2019, 11:24 --

SergeyGubanov
А, радиальная нагрузка это которая сжимает нос к его оси? Тогда да, там будет нетривиальная задача, надо избегать углов $\frac{\pi}{4}$

-- 13.05.2019, 11:30 --

Хотя там опять же будет цилиндр

[SergeyGubanov]

Нарисовал на бумажке углы падения и отражения и вроде правильно будет так:

$$ S = \int\limits_{0}^{R} \sin(2 \alpha) \, dr, \qquad \tg(\alpha) = \frac{dr}{dx} $$

Количество налетающих дробинок пропорционально $dr$, а вред причиняемый радиальной компонентой импульса рассеяной дробинки пропорционален $\sin(2 \alpha)$.

[Sicker]

SergeyGubanov
Да, я как раз хотел написать, что вы перепутали синус и косинус Потому что тогда уже минимизация функционала нетривиальна (т.е. там будет интеграл от обратного приращения длины от $x$)

[GAA]

wrest в сообщении #1392571 писал(а):

Ньютон довольно крупно ошибся в "Началах ..." насчет сопротивления в среде, хотя и сделал довольно много точных опытов, качая маятник в жидкостях. Так что вряд ли он мог что-то хорошее на эту тему рассчитать.

Изложение для детей есть в
Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах (2-е изданное М.: МЦНМОЮ 2006, материал есть и в первом издании); Рассказ восьмой («Аэродинамическая задача Ньютона»).

Задача Ньютона — это задача о движении в сильно разреженной среде.

Из конца восьмого рассказа:

Цитата:

«Действительно, ни вода, ни окружающий нас воздух, ни любая другая привычная нам жидкая или газообразная среда не обладают свойствами редкой среды Ньютона. Так что решение Ньютона не может быть полезно при строительстве моторных лодок, катеров и океанских лайнеров. Однако физические допущения Ньютона и сама его аэродинамическая задача оказались на самом переднем крае современной науки в середине 50-х годов — в тот момент, когда настала эра сверхзвуковых и сверхвысотных летательных аппаратов. Там, «вверху», среда является «редкой». И замечание Ньютона о затупленных конусах оказалось-таки «небесполезным» при построении судов, а именно космических и сверхзвуковых.
…
Словом, не будем торопливы: может статься, что мысль Гения, кажущаяся нам заблуждением, на самом деле несет в себе отпечаток истины — доступной ему, но еще не открывшейся нам.»

[DimaM]

GAA в сообщении #1392791 писал(а):

И замечание Ньютона о затупленных конусах оказалось-таки «небесполезным» при построении судов, а именно космических и сверхзвуковых.

У сверхзвуковых, вроде, как раз заостренные носы. А космические в сильно других условиях - число Кнудсена порядка/больше единицы, там законы другие.

[EUgeneUS]

Затупленный конус:

[Dan B-Yallay]

DimaM в сообщении #1392890 писал(а):

У сверхзвуковых, вроде, как раз заостренные носы. А космические в сильно других условиях - число Кнудсена порядка/больше единицы, там законы другие.

+1

Практически все сверхзвуковые истребители и пассажирские Конкорд /Ту-144 имеют(ли) острые носы. Аппараты на тяге.

С другой стороны, Шаттлы/Буран/МиГ-105 и другие "Лапти" космические аппараты тупоносы. Видимо, для них не стои́т проблема оптимального обтекания, а скорей проблема жаростойкости/охлаждения/прочности