Пытаясь разобраться в эллиптической геометрии по книге Бахмана, нашёл задачу, набранную мелким шрифтом "поляритет проективен если и только если выполнена теорема о высотах" (стр.122)
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=defПоляритет - это взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми, сохраняющее инцидентность (если точка лежит на прямой, то их полярные прямая и точка тоже инцидентны). Например, каждой точке сферы ("полюсу") сопоставим большую окружность (соответствующий "экватор"). Если отождествить диаметрально противоположные точки сферы, получим проективную плоскость и на ней поляритет. Прямые ортогональны, если любая из них проходит через полюс другой (любой меридиан ортогонален экватору). Поляритет проективный, если соответствие точек и их полярных прямых "линейное" (это в координатах, без координат определение сложнее). Теорема о высотах говорит, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Высота - это прямая, проходящая через вершину треугольника и полюс противолежащей стороны (будем считать, что в нашем треугольнике никакая вершина не является полюсом противолежащей стороны, тогда высоты определены однозначно). В одну сторону я доказал (если верна теорема о высотах, то поляритет проективный), тут надо рисовать картинку. Как доказать наоборот? На предыдущих нескольких страницах книги Бахмана есть несколько теорем о проективных преобразованиях - видимо, надо как-то использовать какую-то из них.
