2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение12.05.2019, 15:10 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Пытаясь разобраться в эллиптической геометрии по книге Бахмана, нашёл задачу, набранную мелким шрифтом "поляритет проективен если и только если выполнена теорема о высотах" (стр.122)
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def
Поляритет - это взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми, сохраняющее инцидентность (если точка лежит на прямой, то их полярные прямая и точка тоже инцидентны). Например, каждой точке сферы ("полюсу") сопоставим большую окружность (соответствующий "экватор"). Если отождествить диаметрально противоположные точки сферы, получим проективную плоскость и на ней поляритет. Прямые ортогональны, если любая из них проходит через полюс другой (любой меридиан ортогонален экватору). Поляритет проективный, если соответствие точек и их полярных прямых "линейное" (это в координатах, без координат определение сложнее). Теорема о высотах говорит, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Высота - это прямая, проходящая через вершину треугольника и полюс противолежащей стороны (будем считать, что в нашем треугольнике никакая вершина не является полюсом противолежащей стороны, тогда высоты определены однозначно). В одну сторону я доказал (если верна теорема о высотах, то поляритет проективный), тут надо рисовать картинку. Как доказать наоборот? На предыдущих нескольких страницах книги Бахмана есть несколько теорем о проективных преобразованиях - видимо, надо как-то использовать какую-то из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение12.05.2019, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
george66 в сообщении #1392544 писал(а):
Поляритет проективный, если соответствие точек и их полярных прямых "линейное"

Боюсь, пока определение неясное, доказать из него чего-либо не получится.

Эк вас книжка Бахмана зацепила...

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение01.06.2019, 01:54 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Нашёл ответ в книге Кокстер "Действительная проективная плоскость"
http://library1.org/_ads/D8F3373C262EF3 ... 68F5689ACD
Проективной геометрии всем советую учиться по этой книге.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ИСН


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group