2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение12.05.2019, 15:10 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Пытаясь разобраться в эллиптической геометрии по книге Бахмана, нашёл задачу, набранную мелким шрифтом "поляритет проективен если и только если выполнена теорема о высотах" (стр.122)
http://gen.lib.rus.ec/search.php?req=%D ... column=def
Поляритет - это взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми, сохраняющее инцидентность (если точка лежит на прямой, то их полярные прямая и точка тоже инцидентны). Например, каждой точке сферы ("полюсу") сопоставим большую окружность (соответствующий "экватор"). Если отождествить диаметрально противоположные точки сферы, получим проективную плоскость и на ней поляритет. Прямые ортогональны, если любая из них проходит через полюс другой (любой меридиан ортогонален экватору). Поляритет проективный, если соответствие точек и их полярных прямых "линейное" (это в координатах, без координат определение сложнее). Теорема о высотах говорит, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Высота - это прямая, проходящая через вершину треугольника и полюс противолежащей стороны (будем считать, что в нашем треугольнике никакая вершина не является полюсом противолежащей стороны, тогда высоты определены однозначно). В одну сторону я доказал (если верна теорема о высотах, то поляритет проективный), тут надо рисовать картинку. Как доказать наоборот? На предыдущих нескольких страницах книги Бахмана есть несколько теорем о проективных преобразованиях - видимо, надо как-то использовать какую-то из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение12.05.2019, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
george66 в сообщении #1392544 писал(а):
Поляритет проективный, если соответствие точек и их полярных прямых "линейное"

Боюсь, пока определение неясное, доказать из него чего-либо не получится.

Эк вас книжка Бахмана зацепила...

 Профиль  
                  
 
 Re: Проективный поляритет и теорема о высотах
Сообщение01.06.2019, 01:54 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Нашёл ответ в книге Кокстер "Действительная проективная плоскость"
http://library1.org/_ads/D8F3373C262EF3 ... 68F5689ACD
Проективной геометрии всем советую учиться по этой книге.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group