2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 18:46 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
В начальный момент времени $X=0$. Каждую секунду к $X$ равновероятно прибавляют 1 или $-1$. Найти $E(|X|)$ через $n$ секунд.

Это переформулировка задачи из вступительного экзамена в ШАД 21 мая 2016 г.

Пусть $a_n$ - искомая величина. Я нашёл, что $$a_{2n+2}=a_{2n+1}=\frac{C_{2n}^n(2n+1)}{2^{2n}}.$$
Для решения задачи понадобилось тождество $$\sum_{k=0}^nC_{2n+1}^{n-k}(2k+1)=C_{2n}^n(2n+1),$$ обнаруженное с помощью oeis.org.
Наверняка у этой задачи есть короткое комбинаторное решение...

-- 11.05.2019, 21:42 --

ihq.pl
Вы невнимательно прочитали условие!
Речь идёт о модуле с.в.
То, что $E(X)=0$, очевидно. А нужно найти $E(|X|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 20:55 


02/05/19
396
В обозначениях В. Феллера ожидание равно $$\sum\limits_{0}^{n}2xp_{n,x}$$. (Здесь «$p_{n,x}$» — вероятность того, что в момент времени $n$ величина принимает значение $x$) Я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 21:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Connector
Какая величина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 22:34 


02/05/19
396
Цитата:
Какая величина?

Величина $X$. Вероятность того, что модуль $X$ принимает значение $x$ равна сумме вероятности того, что $X$ равна $x$ и того, что $X$ равна $-x$. Две последние вероятности совпадают и равны $p_{n,x}$.

(Считаю, что здесь удобно применить модель случайного блуждания).
UPD Как указал arseniiv, здесь мы и имеем целочисленное случайное блуждание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение11.05.2019, 22:53 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не просто удобно, это и есть случайное блуждание по $\mathbb Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 07:04 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Connector
Вопрос в том, как свернуть вашу сумму.
И можно ли получить окончательный результат из каких-либо иных комбинаторных соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 08:21 


02/05/19
396
Как вариант: найти вероятность того, что в момент $n$ значение $X$ лежит между $x$ и $-x$. Обозначим эту вероятность через $p_{x}$; тогда модуль $X$ равен $x$ с вероятностью $p_{x+1}-p_{x}$... Но как найти $p_{x}$ (это ещё, думаю, несложно) и что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 12:49 


18/05/15
679
Alexander Evnin в сообщении #1392377 писал(а):
ihq.pl
Вы невнимательно прочитали условие!
Речь идёт о модуле с.в.
То, что $E(X)=0$, очевидно. А нужно найти $E(|X|)$.

ой..
Проделал с модулем, взяв за исходное вот это
$$2^nE(|X|) = \sum\limits_{k=0}^m(n-2k)C_n^k + \sum\limits_{k=m+1}^{n}(2k-n)C_n^k, \quad m=\lfloor n/2\rfloor$$
и получил другой результат: если $n=2m$ то
$$E(|X|)   =  \frac{nC_n^m}{2^n}$$
хотя, надо проверить еще раз...

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 13:55 


18/05/15
679
проверил. Если исходное верно, то всё вроде получается неплохо
$$2^nE(|X|) = nA  + 2B,$$
где
$$A = \sum\limits_{k=0}^mC_n^k - \sum\limits_{k=m+1}^{n}C_n^k, \quad B = \sum\limits_{k=m+1}^{n}kC_n^k- \sum\limits_{k=0}^mkC_n^k.$$
Переписываем $A$:
$$A = \sum\limits_{k=0}^mC_n^{m-k} - \sum\limits_{k=1}^{n-m}C_n^{m+k}.$$
Если $n=2m$, то
$$A = C_n^m+\sum\limits_{k=1}^mC_n^{m-k} - \sum\limits_{k=1}^{m}C_n^{m+k}=C_n^m,$$
а $B=0$, потому что
$$B = n\left(\sum\limits_{k=m+1}^{n}C_{n-1}^{k-1}- \sum\limits_{k=1}^mC_{n-1}^{k-1}\right) = n\left(\sum\limits_{k=0}^{m-1}C_{n-1}^{m+k}- \sum\limits_{k=0}^{m-1}C_{n-1}^{m-1-k}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 14:29 


30/03/08
196
St.Peterburg
$M_{2n+1}=p_0+M_{2n}\ , \ M_{2n+2}=M_{2n+1}\ $ , где $\ p_0=\dfrac{C_{2n}^n}{4^n}$ - вероятность вернуться в $0$.

$$M_{2n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{2k}^k}{4^k}= \dfrac{(2n+1)C_{2n}^n}{4^n}$$
- коэффициент при $t^n$ в разложении $f(t)= \dfrac{1}{\sqrt{1-t}}(1+t+t^2 + ...)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 15:45 


10/03/16
3855
Aeroport

(Оффтоп)

Alexander Evnin я правильно понимаю, что вот такие вот «простенькие» задачки дают на вступительных экзаменах в ШАД? На кого это рассчитано?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 16:03 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1392551 писал(а):
что вот такие вот «простенькие» задачки дают на вступительных экзаменах в ШАД? На кого это рассчитано?!
Одномерные дискретные случайные блуждания нередко обсуждают на школьных кружках, для сильных математических и околоСS'ных кружков это почти стандартный элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение12.05.2019, 18:08 


10/03/16
3855
Aeroport

(Оффтоп)

Pphantom Задачи по одномерным дискретным блужданиям, такие как расчёт вероятностей поглощения на границах, не говоря уже о чем то более тривиальном, могу решить даже я. Но вот эта конкретно задача, как мне кажется, это уже перебор в плане сложности. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение13.05.2019, 07:54 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Sergic Primazon в сообщении #1392533 писал(а):
$M_{2n+1}=p_0+M_{2n}\ , \ M_{2n+2}=M_{2n+1}\ $ , где $\ p_0=\dfrac{C_{2n}^n}{4^n}$ - вероятность вернуться в $0$.

$$M_{2n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{C_{2k}^k}{4^k}= \dfrac{(2n+1)C_{2n}^n}{4^n}$$
- коэффициент при $t^n$ в разложении $f(t)= \dfrac{1}{\sqrt{1-t}}(1+t+t^2 + ...)$

Я думал в этом же направлении...
Поучительно, как Вы от производящей функции для последовательности $(a_n)$ перешли
к производящей функции для последовательности $(S_n)$, где $S_n=\sum_{k=0}^n a_n$.
Оказывается, достаточно производящую функцию первой последовательности умножить на $\dfrac1{1-x}$.
Спасибо!

-- 13.05.2019, 10:02 --

(Оффтоп)

ozheredov в сообщении #1392574 писал(а):
[off]Pphantom Задачи по одномерным дискретным блужданиям, такие как расчёт вероятностей поглощения на границах, не говоря уже о чем то более тривиальном, могу решить даже я. Но вот эта конкретно задача, как мне кажется, это уже перебор в плане сложности. Или нет?

(Оффтоп)

На вступительных экзаменах в ШАД встречаются и более сложные задачи. Посмотрите, например, на 5 задачу экзамена от 27 мая 2017 г. https://efiminem.github.io/supershad/27-05-2017/ Хотя там ответ получить легко, но сложность решения зашкаливает!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мат. ожидание модуля дискретной случайной величины
Сообщение13.05.2019, 17:57 
Заморожен
Аватара пользователя


31/10/11
123
Челябинск
Как всё-таки непосредственно доказать тождество
$$\sum_{k=0}^nC_{2n+1}^{n-k}(2k+1)=C_{2n}^n(2n+1)?$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group