Ранг матрицы

[svv]

Простите, а что такое $rank(\bold J)$ ? Ведь теперь, когда все $J_i$ разные, такой матрицы, как $J$, нет.

[Andrey_Kireew]

Я же писал, можно принять ранги всех этих матриц одинаковыми, равными числу их строк, тогда для краткости можно писать $$rank(\bold J)$ $.

-- 09.05.2019, 03:08 --

Тем не менее спасибо, кажется с Вашей помощью я дошел до истины.

-- 09.05.2019, 03:12 --

В итого предложенных Вами преобразований мы получаем "шахматную" матрицу

$$\begin{pmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_2\\ ......\\ 0 & A_q & \end{pmatrix}$$

[svv]

А можно ещё спросить, у Вас в одном блоке чего больше — строк или столбцов?

[Andrey_Kireew]

Хоть $A_i$ прямоугольная, хоть квадратная - её можно свести к единичной, умножая слева и справа на соответствующие наборы векторов (ранг при этом не меняется). И она приводится к виду

$$\begin{pmatrix} \bold 1 & 0\\ 0 & \bold 1\\ ......\\ 0 & \bold 1 & \end{pmatrix}$$

-- 09.05.2019, 03:18 --

svv в сообщении #1391913 писал(а):

А можно ещё спросить, у Вас в одном блоке чего больше — строк или столбцов?

конечно столбцов, а как иначе то?

-- 09.05.2019, 03:21 --

Ну и приходим к главному - если ранги всех $ \bold J $ равны (видимо от этой предпосылки никуда не деться), то все строки, кроме первых двух обновляются, и получается $rank(\bold J_0)=2\cdot rank(\bold J)$ - и это верхняя оценка.

Всё правильно, или есть какие то ошибки в рассуждениях?

[svv]

Вот пример, когда ранг больше. Здесь каждый блок размера $1\times 2$.
$\begin{tabular}{|cc|cc|}\hline 1 & 2 & 2& 4 \\\hline 3 & 5 & 9 & 15 \\\hline 5& 8 & 20 & 32 \\\hline\end{tabular}$
Ранг каждого блока $1$, тогда ранг всей матрицы должен быть $2$, но он $3$.

Да хоть и 4:
$\begin{tabular}{|cc|cc|}\hline 1 & 2 & 2& 4 \\\hline 3 & 5 & 9 & 15 \\\hline 5& 8 & 20 & 32 \\\hline 8& 11 & 40 & 55 \\\hline\end{tabular}$

[Andrey_Kireew]

Все верно, ранг 3. Сейчас проверил - обнулить никак не получается

[svv]

Я буду уже отключаться, а то у нас 2.45 ночи. Надеюсь, не сильно Вас расстроил.

[Andrey_Kireew]

Всего Вам доброго, спасибо за помощь!

... значит на $\bold J$ должны быть наложены дополнительные ограничения. Но какие?

[svv]

Я подумаю. Спокойной ночи!

[svv]

Ну, в общем, подведу итог. В отличие от предыдущей задачи, где ранг $J_0$ определялся рангом блока, здесь возможны варианты.

Пусть блок имеет размеры $m\times n$, причём $m\leqslant n$.
Пусть блочных строк $q$, блочных столбцов $2$, причём $q\geqslant 2$.
Пусть все коэффициенты $k_i$ различны.
Составим список блоков первого блочного столбца, отсортированный по убыванию ранга. Пусть $r_1, r_2$ — ранги двух верхних блоков в этом списке (они могут и совпадать, так как максимальный ранг могут иметь несколько блоков). Тогда
$r_1+r_2 \leqslant\operatorname{rank}J_0\leqslant \min(mq, 2n)$

Если гарантируется, что блоки полного ранга ($m$ — число строк в блоке), то
$2m \leqslant\operatorname{rank}J_0\leqslant \min(mq, 2n)$

Можно привести явные примеры матриц $J_0$, ранг которых принимает минимально возможное и максимально возможное согласно оценке значение, и в этом смысле оценка неулучшаемая.
Пусть, например, $m=1$ (блок состоит из одной строки) и $q=2n$ (вся матрица квадратная):
$\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0&0&2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0&0&\cdots&n\\1&0&\cdots&0&n+1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0&0&n+2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1&0&0&\cdots&2n\end{bmatrix}$
Тут ранг равен $\min(mq, 2n)=q=2n$.

А вот в таком случае (тоже $m=1$ и $q=2n$) ранг равен $2m=2$:
$\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&0&n&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&n+1&0&\cdots&0\\1&0&\cdots&0&n+2&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&\cdots&0&2n&0&\cdots&0\end{bmatrix}$

[Andrey_Kireew]

Действительно, после последующих численных экспериментов выяснилось, что ранг может быть и больше, чем $2rank(\bold J)$. Чуда, как говориться, не произошло. Очередной провал ...
Всё равно спасибо Вам svv за то, что уделили мне так много времени.