Предел функции в точке

[project15]

Функция $f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ имеет предел в точке $a$, являющейся предельной точкой для $X$ тогда и только тогда, когда существует проколотая $\delta$-окрестность $\dot{U_{\delta}}$ точки $a$, такая что образ $f(\dot{U_{\delta}})$ - либо конечное множество, состоящее из одного элемента, либо бесконечное множество, имеющее ровно одну предельную точку. Этот единственный элемент или предельную точку мы и называем пределом функции в точке $a$.

Эквивалентно ли это утверждение определению Коши?

[project15]

Видимо, не эквивалентны. В голову пришла функция, тождественно равная 1 в рациональных точках и как-нибудь монотонно убывающая к нулю в иррациональных (например, со значения 0.5). Будет существовать проколотая $\delta$-окрестность предельной точки $a$, образ $f(\dot{U_{\delta}})$ которой есть бесконечное множество с единственной предельной точкой 0 (единица будет изолированной точкой этого образа), но тем не менее предела в $a$ не будет. Помогите допилить определение, эквивалентное Коши, но в подобных как у меня терминах.

[Mikhail_K]

project15
Ничего не понятно.
Согласно Вашему определению, чему равен предел функции $f(x)=x$ в точке $x=0$ и почему?

[project15]

Mikhail_K
То определение, которое я написал выше не эквивалентно определению Коши. Анализировать функцию с его помощью бессмысленно.
Когда я начинал эту тему у меня был примерно следующий ход мыслей. Пусть есть ограниченная числовая последовательность, множество значений которой бесконечно. Тогда существует хотя бы одна предельная точка для значений последовательности (по теореме Вейерштрасса). Если предельная точка ровно одна, то последовательность имеет предел в обычном смысле и он равен этой точке. На мой взгляд, гораздо проще мыслить предел последовательности, как единственную предельную точку для ее значений, а не как "для любого эпсилон найдется номер...". Я решил обобщить этот красивый факт на произвольную числовую функцию. Как это сделать - не знаю.

[Mikhail_K]

project15 в сообщении #1392039 писал(а):

На мой взгляд, гораздо проще мыслить предел последовательности, как единственную предельную точку для ее значений, а не как "для любого эпсилон найдется номер...". Я решил обобщить этот красивый факт на произвольную числовую функцию.

1) Понятно, что если Вы будете брать образы проколотых окрестностей точки $a$, то эти образы вообще говоря будут иметь бесконечно много предельных точек, и ничего не получится.
2) Значит, надо брать не образы окрестностей точки $a$. Надо брать образы последовательностей, сходящихся к $a$.
3) И получается определение предела по Гейне. Думаю, что ничего ближе по духу к тому, что Вы хотите иметь, быть не может.

[project15]

Mikhail_K

Mikhail_K в сообщении #1392041 писал(а):

1) Понятно, что если Вы будете брать образы проколотых окрестностей точки $a$, то эти образы вообще говоря будут иметь бесконечно много предельных точек, и ничего не получится.

Да, для конкретной проколотой $\delta$-окрестности $\dot{U_{\delta}}$ точки $a$ образ $f(\dot{U_{\delta}})$ может иметь бесконечно много точек прикосновения. Поступим следующим образом. Выберем $\dot{U_{\delta_1}}$-окрестность точки $a$. Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_1}})$ образ. Далее возьмем $\dot{U_{\delta_2}}$-окрестность точки $a$ (где $\delta_2 = \frac{1}{2} \delta_1$) . Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_2}})$ образ. Если продолжать этот процесс бесконечно много раз, то может случиться так, что будет существовать ровно одна точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для каждого из этих образов (естественно, так будет не всегда, может случиться и так, что таких точек будет больше 1 и тогда функция не будет иметь предел в точке $a$; 1 "общая" точка прикосновения думаю должна существовать всегда, но я это еще не проверил). Ее и назовем пределом функции в точке $a$.

Допуская вольность речи, можно сказать, что предел функции - эта та единственная точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для всех этих образов.

Будет ли такое определение эквивалентно определению Коши?

[Mikhail_K]

project15 в сообщении #1392079 писал(а):

Выберем $\dot{U_{\delta_1}}$-окрестность точки $a$. Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_1}})$ образ. Далее возьмем $\dot{U_{\delta_2}}$-окрестность точки $a$ (где $\delta_2 = \frac{1}{2} \delta_1$) . Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_2}})$ образ. Если продолжать этот процесс бесконечно много раз, то может случиться так, что будет существовать ровно одна точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для каждого из этих образов (естественно, так будет не всегда, может случиться и так, что таких точек будет больше 1 и тогда функция не будет иметь предел в точке $a$; 1 "общая" точка прикосновения думаю должна существовать всегда, но я это еще не проверил). Ее и назовем пределом функции в точке $a$.

Допуская вольность речи, можно сказать, что предел функции - эта та единственная точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для всех этих образов.

Возьмите функцию

$$ f(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\1/x,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} $$

Согласно Вашему определению её предел в нуле существует и равен нулю. Хотя она даже не ограничена в окрестности нуля.

project15 в сообщении #1392079 писал(а):

1 "общая" точка прикосновения думаю должна существовать всегда

Нет, это также неверно.

[arseniiv]

Кстати, а что мешает взять уже готовое топологическое определение и всё?

[project15]

arseniiv

Я решил покопаться в "основах матанализа" (условно это тот набор тем в учебниках с названиями наподобие "Математический анализ", "Дифференциальное и интегральное исчисление" до производной). И сейчас объясню почему.
1. Во-первых я убежден, что одномерный анализ надо построить "честно" (без топологии, метрических пространств, пределов по базе и т.д.; только термины наподобие "расстояние", "достаточно близко" и прочее)
2. Во-вторых я хочу возвести все "тело" этих основ, стоя только на двух ногах: вещественные числа и понятие функции (на данном этапе одной вещественной переменной, конечно же). Наивную теорию множеств можно считать общематематическим разделом, который к этому времени уже изучен.
3. Я пытаюсь избавиться от всего лишнего шума, который присутствует в учебниках. Не вводить лишние сущности, если можно обойтись тем, что есть. Например, не вводить отдельное понятие последовательности, а относиться к ней как к функции целочисленного аргумента. А предел последовательности - это просто предел функции в бесконечности, которая является для нее единственной предельной точкой (такой подход освобождает от необходимости доказывать теоремы о пределах для последовательностей и функций отдельно). Я хочу откристаллизовать необходимый минимум базовых понятий, применимых для функций на этом этапе, такие как предел в точке, непрерывность, равномерная непрерывность и т.д, на основе которых будет развиваться предмет в дальнейшем.
4. Хочу избавить свой мозг от геометрических ассоциаций, чтобы по-настоящему почувствовать универсальность, общность этих понятий. Например, представлять функцию не как график, а как 2 множества и т.д.

Понятие предела функции в предельной точке - то самое базовое понятие. Каким образом его понять? Предел в точке - это нечто "статическое" или "динамическое"? Какую ассоциацию этого понятия (лишенную геометрической интерпретации в виде графика функции) иметь в голове, чтобы спокойно оперировать с этим понятием? И нужна ли эта ассоциация вообще? Определения Коши и Гейне не вызывают у меня полезных ассоциаций. Вот над этими вопросами я сейчас думаю. Буду рад, если предложите свои варианты.

Все вышеперечисленное я делаю исключительно для себя исходя из своего чувства эстетики и видения этого предмета. Никого не призываю относиться к матанализу так же.

[Someone]

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

1. Во-первых я убежден, что одномерный анализ надо построить "честно" (без топологии, метрических пространств, пределов по базе и т.д.; только термины наподобие "расстояние", "достаточно близко" и прочее)

Вы ломитесь в открытую дверь. По-моему, обычно так и делают. Кстати, "достаточно близко" — не термин, а некоторое описательное выражение без точного смысла.
Но напрямую этот подход является очень громоздким. Дело в том, что мы должны определить смысл равенства $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ для случаев, когда $a$ есть число или один из трёх символов $+\infty$, $-\infty$ и $\infty$ (без знака), и те же варианты предусмотреть для $b$. В итоге получается $4\times 4=16$ вариантов определения предела функции, и плюс ещё $4$ варианта определения предела последовательности. Тем не менее, такой вариант встретить можно. Однако удобно ввести обобщающие понятия окрестности и проколотой окрестности, и все определения сворачиваются в два случая: для функции и для последовательности. Метрические и топологические пространства здесь вводить совершенно неуместно, их надо вводить после освоения основ.

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

3. Я пытаюсь избавиться от всего лишнего шума, который присутствует в учебниках. Не вводить лишние сущности, если можно обойтись тем, что есть. Например, не вводить отдельное понятие последовательности, а относиться к ней как к функции целочисленного аргумента.

Последовательность и есть функция, только не целочисленного, а натурального аргумента. Но извините, Вы всё равно должны будете определить отдельно функции действительного аргумента (на произвольном подмножестве множества $\mathbb R$) и функции натурального аргумента, поскольку у Вас отсутствует обобщающее понятие.

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

А предел последовательности - это просто предел функции в бесконечности, которая является для нее единственной предельной точкой

Это что-то совершенно невнятное.

[project15]

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

Однако удобно ввести обобщающие понятия окрестности и проколотой окрестности...

Абсолютно согласен.

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

... и все определения сворачиваются в два случая: для функции и для последовательности.

А вот с этим поспорю. Все определения сворачиваются ровно в одно для функции. Элемент $A\in\overline{\mathbb{R}}$ называется пределом функции $f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ в точке $a\in\overline{\mathbb{R}}$, являющейся предельной для $X$, если для любой окрестности $U(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot{V}(a)$ точки $a$ такая, что $f(\dot{V}(a)) \subset U(A)$. Необходимость введения понятия последовательности в контексте этой причины мне непонятна. Наоборот, приятно видеть одно универсальное определение, которое пригодно для всех случаев и оперирует только понятием функции, которое мы знаем. В этом контексте ваши слова

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

Но извините, Вы всё равно должны будете определить отдельно функции действительного аргумента (на произвольном подмножестве множества $\mathbb R$) и функции натурального аргумента, поскольку у Вас отсутствует обобщающее понятие.

мне непонятны, т.к. я писал, что

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

2. Во-вторых я хочу возвести все "тело" этих основ, стоя только на двух ногах: вещественные числа и понятие функции (на данном этапе одной вещественной переменной, конечно же).

имея в виду, что понятием функции мы можем смело оперировать. Если я, конечно же, правильно понял Ваши слова...

Цитата:

...поскольку у Вас отсутствует обобщающее понятие.

Если понял неправильно - уточните. Резюмирую, понятие функции дано и можно им пользоваться.

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

Последовательность и есть функция, только не целочисленного, а натурального аргумента.

Посчитал, что слово "целочисленного аргумента" - своеобразный исторический устоявшийся оборот (в учебниках Куранта и Фихтенгольца, если мне не изменяет память, именно так). Но смысл понятен. Несущественная деталь. Аргумент принимает, конечно же, натуральные значения.

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

А предел последовательности - это просто предел функции в бесконечности, которая является для нее единственной предельной точкой

Это что-то совершенно невнятное.

Почему же? Последовательность - это функция. Для ее области определения существует единственная предельная точка $+\infty$, предел в которой мы и рассматриваем. Не вижу ошибки в формулировке.

Меня больше волнует вопрос, какую ассоциацию имеют профессионалы, когда говорят о пределе функции в точке. Как Вы представляете это самый предел? Значение $A$, в окрестности которого "пляшет" функция, если отображаются "близкие" к $a$ точки?

[arseniiv]

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

4. Хочу избавить свой мозг от геометрических ассоциаций, чтобы по-настоящему почувствовать универсальность, общность этих понятий.

Хм. Боюсь, это не лучший выбор и/или противоречивое желание, или мы по-разному понимаем геометрические ассоциации. В одном смысле геометрические объекты это что-то более приятное, чем какие-то координатные определения или конкретные построения «в числах», когда они могут быть нужны только для доказательств существования и как универсальный инструмент, используемый, когда всё остальное не сработало.

В другом смысле геометрические ассоциации, в смысле ассоциаций с теми понятиями, которые диктует нам устройство нашего мозга и окружения, — это крайне полезный инструмент для возникновения понимания, потому что голова человека весьма ограничена, учится не в любых условиях и сознательно скрупулёзно чем-то манипулировать ей всегда не очень легко и лень, а эти вещи в ней уже есть; опираться на то, что уже известно, голове как раз всегда приятно. Недаром есть метафора «оснований» областей знаний с основаниями зданий.

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

Например, представлять функцию не как график, а как 2 множества

Хм, уместнее говорить, что функция — это три множества (график, область определения и область значений) или что функция — одно множество (вот эта тройка, ну или может быть пара, если пренебречь симметрией ради неизбыточности). (График — это подмножество декартова произведения первой области на вторую.)

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Меня больше волнует вопрос, какую ассоциацию имеют профессионалы, когда говорят о пределе функции в точке. Как Вы представляете это самый предел?

Это немножко ошибочный вопрос, потому что весь смак в том, что представления, когда человек готов сказать, что он понимает, обычно не передаваемы через слова в некотором смысле эффективно; принимающему всё равно придётся сделать достаточно много — и будет выглядеть это в оптимальном случае ну может быть лишь чуть лучше, чем современное обучение. Это часть устройства мозга; характеризует понимание, ну скажем, лёгкость обращения с вещью. А сознание — это тяжёлый микроскоп (и молоткостроительный станок), оно нужно только для формирования того, что там будет.

Хорошей аналогией будет таблица умножения, хотя её принято не «понимать», а «знать», но творится в голове то же: сначала вы получаете откуда-то кучу примеров, возможно выводя самостоятельно (из аксиом ли, пересчитывая ли прямоугольником расположенные штуки), потом вы применяя эти примеры добиваетесь их попадания в долгосрочную память, притом в том виде, в котором они извлекаются из неё когда надо. Всё, вы построили машину. Правда на этот раз весьма простую и однозадачную — «понимание тензоров», к примеру, должно выглядеть как что-то более сложное, хотя тут есть плюс в том, что к тому моменту, когда о нём задумываешься, в распоряжении уже куча других машинок, которые пойдут в ход при построении этой.

[Someone]

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Элемент $A\in\overline{\mathbb{R}}$

Что такое $\overline{\mathbb R}$? Если это множество действительных с добавленными "бесконечными" элементами, то отдаёте ли Вы себе отчёт, что в математическом анализе используются два различных способа добавления "бесконечных" элементов, и что оба надо определить?

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Посчитал, что слово "целочисленного аргумента" - своеобразный исторический устоявшийся оборот (в учебниках Куранта и Фихтенгольца, если мне не изменяет память, именно так).

Насчёт "исторически устоявшегося оборота" Вы заблуждаетесь, потому что математики отличают натуральные числа от целых. Нету такого "исторически устоявшегося оборота". У Фихтенгольца точно говорится о натуральных числах (глава первая, § 1, пункт 22). Куранта я не читал, но очень сильно сомневаюсь, что он путает целые числа с натуральными.

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Наоборот, приятно видеть одно универсальное определение, которое пригодно для всех случаев и оперирует только понятием функции, которое мы знаем.

Проблема в том, что натуральные числа должны быть определены до целых, целые — до рациональных, а рациональные — до действительных, поэтому, если Вы будете считать, что $\mathbb N\subset\mathbb R$, у Вас получится порочный круг. Другое дело, что числовые системы $\mathbb N$, $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ допускают изоморфизмы на подмножества $\mathbb R$.

Однако это не решает проблему. Дело в том, что теория пределов излагается людям, которые только-только начинают изучать математический анализ. Поэтому им излагается простейший вариант, когда функция определена в проколотой окрестности предельной точки, а односторонние пределы определяются дополнительно. Это избавляет от целого ряда проблем, которых Вы явно не видите. Если Вы с целью единообразия рассматриваете натуральный ряд как подмножество множества действительных чисел, то условие "функция определена в проколотой окрестности предельной точки" будет нарушено, и у Вас будет два варианта выхода: либо дать для последовательности отдельное определение предела, что убивает вашу идею на корню, либо "для единообразия" определять предел функции, заданной на произвольном подмножестве множества действительных чисел. Но этот вариант (не думайте, что его никто не пробовал) требует усложнения самого определения, а также формулировок и доказательств теорем, в первую очередь — свойств пределов. А это крайне нежелательно, поскольку речь идёт об обучении начинающих, а им и так трудно разобраться с этим понятием. Вот Вы, например, судя по данной теме, здорово "плаваете".

И, наконец, должен отметить, что идея учить специалистов, как им излагать математический анализ, при вашем понимании вопроса выглядит крайне самонадеянной. Я Вам категорически не советую этим заниматься, поскольку ничего хорошего из этого не выйдет.

[Padawan]

Множество всех частичных пределов функции $f$ по базе $\mathscr B$ равно

$$C(f)=\bigcap_{B\in\mathscr B} \overline{f(B)}$$

Существует $\lim_\mathscr B f= A$ тогда и только тогда, когда $C(f)=\{A\}$.

[project15]

arseniiv

arseniiv в сообщении #1392250 писал(а):

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

4. Хочу избавить свой мозг от геометрических ассоциаций, чтобы по-настоящему почувствовать универсальность, общность этих понятий.

Хм. Боюсь, это не лучший выбор и/или противоречивое желание, или мы по-разному понимаем геометрические ассоциации.

Под геометрическими ассоциациями предела я понимаю картинки наподобие


Я не спорю, что видеть предел функции на графике - полезный навык. Но проблема таких картинок в том, что они дают ложное ощущение понимания этого понятия, как чего-то очевидного и наглядного. Понятие функции допускает чрезвычайно разнообразные объекты. Есть много функций, наглядное представление которых очень сильно затруднено или совсем невозможно (например, функция Дирихле или функции, определенные в рациональных точках одним образом, а в иррациональных каким-то другим и т.д.). Но ставить вопрос о существовании предела в точке для таких функций может быть очень полезным делом, которое приведет к содержательным выводам. С непрерывностью все тоже самое. Многие первокурсники понимают непрерывную на отрезке функцию как привычную со школы кривую наподобие параболы, экспоненты и т.д. Но если посмотреть на функцию Вейерштрасса, то непрерывность уже не кажется такой простой и очевидной.

arseniiv в сообщении #1392250 писал(а):

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

Например, представлять функцию не как график, а как 2 множества

Хм, уместнее говорить, что функция — это три множества (график, область определения и область значений) или что функция — одно множество (вот эта тройка, ну или может быть пара, если пренебречь симметрией ради неизбыточности). (График — это подмножество декартова произведения первой области на вторую.)

Можно еще представлять функцию, как "черный ящик", в который можно закидывать числа (из определенного подмножества $\mathbb{R}$) и он будет выплевывать другие числа из области $\mathbb{R}$ Я искренне считаю, что это прекрасная аналогия, которая не привязывает функцию к ее графическому пониманию.