Предел функции в точке

[arseniiv]

project15 в сообщении #1394367 писал(а):

Возьмем например равенство $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$. Что тогда понимается под $\{+\infty\}$? Это множество, состоящее из одного элемента? И что это за элемент тогда? Почему бесконечности со знаком связаны друг с другом и с вещественными числами отношением порядка? Это часть определения этих бесконечностей или следствие из определения?

Часть определения. Элементы $\pm\infty$ или $\infty$ — это просто какие-нибудь штуки, отличные от всех вещественных чисел; любые (наивные или аксиоматические) основания нам позволяют найти таких сколько угодно. Получив множества $\overline{\mathbb R}$ или $\mathbb R\cup\{\infty\}$, мы доопределяем отношения и операции, и вобще структуру, типа метрики (ну с топологией ладно, а метрику придётся обобщить до $\infty$-метрики, могущей принимать значение $+\infty$), с $\mathbb R$ на них (насколько возможно).

[Someone]

Да не надо начинающим метрику обобщать. Даже и слово "метрика" лучше не упоминать. Что касается "бесконечностей", то для них просто надо отдельно определить понятия окрестности и проколотой окрестности. Для $+\infty$ и $-\infty$ можно доопределить отношения порядка. Можно повозиться с частичным доопределением арифметических операций, но это уже громоздко и малополезно, поскольку понимание появится только после освоения теории пределов.

[Padawan]

project15 в сообщении #1394367 писал(а):

Стоит узкая задача - построить одномерный анализ, вводя как можно меньше объектов и оперируя как можно более простыми объектами

project15 в сообщении #1394367 писал(а):

это вообще имеет смысл делать?

Конечно, имеет! Только ваше определение предела этому условию не удовлетворяет. Зачем замыкание? Есть обычное определение предела по Коши, по Гейне . Его и надо использовать. Не зря же эти определения возникли самыми первыми. Вообще, "онтогенез повторяет филогенез".
По бесконечностям: либо добавляете две, либо одну. Но не то и другое одновременно.

[feedinglight]

В Бесов О.В. Курс лекций по математическому анализу. Часть 1 изначально $\mathbb R$ дополняется бесконечностями $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$, $\widehat{\mathbb{R}} = \overline{\mathbb{R}} \cup \{\infty\}$ и вводятся окрестности для бесконечностей, что приводит к более-менее естественным определениям пределов.
Тогда результат операции взятия предела не выходит за пределы $\overline{\mathbb{R}}$ или $\widehat{\mathbb{R}}$, когда предел $+\infty$ или $-\infty$ или когда предел по модулю $\infty$. И тогда можно написать, что последовательность сходится в $\overline{\mathbb{R}}$ или сходится в $\widehat{\mathbb{R}}$.

[project15]

Someone
Стандартный путь примерно следующий: утверждается, что "часто бывает удобно дополнить множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ элементами, обозначаемыми $+\infty$ и $-\infty$, считая по определению $-\infty < +\infty$ и $-\infty < a < +\infty$ $\forall a\in\mathbb{R}$. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$, дополненное элементами $+\infty$ и $-\infty$ называется расширенным множеством действительных чисел и обозначается через $\overline{\mathbb{R}}$." У меня несколько "претензий" к такому определению "бесконечностей":
1. Было "хорошее" множество $\mathbb{R}$, а стало "плохое" $\overline{\mathbb{R}}$. Почему плохое? Потому что на нем даже операции сложения и умножения не определены, в отличие от $\mathbb{R}$. Фактически это новое множество, и где гарантия, что все "хорошие" свойства, справедливые в $\mathbb{R}$ останутся справедливыми в $\overline{\mathbb{R}}$? Доказывать заново?
2. Некоторые источники предлагают рассматривать функции вида $f:X\subset\overline{\mathbb{R}}\to\overline{\mathbb{R}}$. Получается, что функция может быть определена,например, в точке $+\infty$. Сюда же я отношу утверждения наподобие "членами последовательности могут быть не только действительные числа, но и бесконечности с определенным знаком"; "наряду с числовыми последовательностями в данном курсе будут встречаться последовательности точек расширенной числовой прямой, т.е. занумерованные натуральными числами совокупности $\{x_{n}\}$ элементов расширенного множества действительных чисел $\overline{\mathbb{R}}$" и т.д. Это противоречит моей картине мира.

project15 в сообщении #1394367 писал(а):

Я воспринимаю символы $\infty; +\infty; -\infty$ просто как значки, которые удобно использовать для описания неограниченных множеств вещественных чисел.

Я предлагаю не считать их элементами некоторого множества. На мой взгляд равенства вида $a + (+\infty) = +\infty$; $(+\infty)\cdot(+\infty) = (+\infty)$ лишены смысла. Тот факт, что эти "равенства" можно условно считать удобной краткой наглядной иллюстрацией поведения суммы двух функций, зная как ведет себя каждая из функций, составляющих эту сумму не вызывает у меня никаких нареканий. (также как мы считаем символы $\frac{0}{0}$; $0^0$ и т.д. "лишенными всякого числового смысла. Каждый из них является лишь краткой условной характеристикой для выражений одного из четырех типов неопределенности").

В чем заключается необходимость дополнять $\mathbb{R}$ "бесконечностями", считать их элементами множества (получив в результате такого рассмотрения не очень понятное (лично для меня) множество $\overline{\mathbb{R}}$), а не относиться к ним, как к условным значкам, характеризующим бесконечные множества вещественных чисел и поведение некоторых функций?

(Оффтоп)

Зная Вашу, Someone, привычку считать, что каждое адресованное Вам мое сообщение - попытка Вас учить, утверждаю, что я лишь высказываю свою точку зрения, учить никого не пытаюсь и вообще в споре рождается истина. Не вижу ничего зазорного описать свое видение вопроса (возможно неправильное) для того, чтобы в процессе обсуждения сформировать как можно более широкий и правильный взгляд на рассматриваемый предмет обсуждения.

[mihaild]

feedinglight в сообщении #1394424 писал(а):

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$, $\widehat{\mathbb{R}} = \overline{\mathbb{R}} \cup \{\infty\}$

$\widehat \mathbb R$ получается же не хаусдорфовым...

[Someone]

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

Почему плохое? Потому что на нем даже операции сложения и умножения не определены

Ага. Не определены. И нафиг там не нужны, пока студент не разобрался с теорией пределов. Я сразу так и говорю студентам: эти "бесконечности" — не числа, и арифметические операции с ними не определены. На этом и успокойтесь.

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

где гарантия, что все "хорошие" свойства

Какие именно "хорошие" свойства Вас беспокоят? В топологическом смысле оба способа добавления бесконечностей дают пространство, с точки зрения анализа более удобное, чем $\mathbb R$. Именно затем эти "бесконечности" и добавляются.

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

Некоторые источники предлагают рассматривать функции вида $f:X\subset\overline{\mathbb{R}}\to\overline{\mathbb{R}}$. Получается, что функция может быть определена,например, в точке $+\infty$.

Если это кому-то нужно, и он понимает, что делает — его право.

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

В чем заключается необходимость дополнять $\mathbb{R}$ "бесконечностями", считать их элементами множества (получив в результате такого рассмотрения не очень понятное (лично для меня) множество $\overline{\mathbb{R}}$), а не относиться к ним, как к условным значкам

Это и есть условные значки, а не числа. Считать их элементами расширенного множества действительных чисел очень удобно, поскольку избавляет от необходимости формулировать $4$ варианта определения предела последовательности и $16$ вариантов определения предела функции.

(project15)

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

Зная Вашу, Someone, привычку считать, что каждое адресованное Вам мое сообщение - попытка Вас учить, утверждаю, что я лишь высказываю свою точку зрения

Я стараюсь не высказывать свою точку зрения по тем вопросам, в которых не разбираюсь.

project15 в сообщении #1394451 писал(а):

чтобы в процессе обсуждения сформировать как можно более широкий и правильный взгляд на рассматриваемый предмет обсуждения.

Извините, пока сколько-нибудь заметного продвижения в этом направлении не заметил.

[feedinglight]

mihaild в сообщении #1394457 писал(а):

$\widehat{\mathbb{R}}$ получается же не хаусдорфовым...

Ну да, в $\widehat{\mathbb{R}}$ может оказаться 2 предела одновременно: $\infty$ и $+\infty$ или $\infty$ и $-\infty$, в этом смысле костыльно, поэтому в основном используется $\overline{\mathbb{R}}$ (когда предел по модулю не важен). И значение функции в точке $\infty$ (без знака) - это лишнее.
Но это не особо мешает.