Коллапс тонкой пылевой оболочки

[Geen]

schekn в сообщении #1391668 писал(а):

Там Шварцшильд вплоть до самой оболочки.

И? Чему это противоречит?

schekn в сообщении #1391668 писал(а):

Глава 3.4 вызывает сомнения.

Это в лекциях Э.Пуассона? Чисто геометрическая глава?...

[Munin]

schekn в сообщении #1391668 писал(а):

Посмотрите уравнения (8) в вашей статье. Там Шварцшильд вплоть до самой оболочки.

Так это и правильно, и вам это с самого начала сказали.

schekn в сообщении #1391668 писал(а):

вызывает сомнения. Я уже 2 раза объяснял - почему.

Потому что вы плохо разобрались.

Вообще, конечно, подобные вещи могут с трудом восприниматься, но тут надо правильно выбрать направление "офизичивания". Вместо оболочки, состоящей из раздельных частиц с большими промежутками (это очень сложная задача), намного проще и понятнее рассмотреть оболочку пылевую, но конечной толщины. Тогда станет ясно, что внутри оболочки что-то творится (можно даже расписать, что), и на выходе из оболочки будет именно то, что получается в случае тонкой оболочки. Geen с его энтузиазмом может даже это сделать.

[Geen]

Munin в сообщении #1391694 писал(а):

Geen с его энтузиазмом может даже это сделать.

Подробно писать сейчас времени нет. Но, на самом деле, этот метод с оболочками (формализм Израэля?) работает и в другую сторону - непрерывное распределение вещества можно заменить бесконечным числом оболочек (и это просто математика)...

[Munin]

Разумеется. И вокруг каждой оболочки будет Шварцшильд с массой, равной всем оболочкам внутри данной. Но вот расписать это подробней... я подумал, как раз в вашем стиле :-)

[Geen]

Там некоторая проблема с каустиками будет... а я всё никак две сферы не выпишу...

[Munin]

А возьмите schekn к себе в подмастерья! И ему польза будет, и вам полегче! :-)

[SergeyGubanov]

В отличие от сферы, для коллапсирующего из бесконечности с нулевой начальной скоростью однородного пылевого шара массы $M$ решение очень простое.

Метрика:

$$ g_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = dt^2 - \left(dr - V(t,r) \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2 $$

Радиус однородного пылевого шара ($t_0$ - момент времени когда шар сколлапсирует в точку):

$$ R(t) = \left( \frac{3}{2} \sqrt{2 k M} \left( t_0 - t \right) \right)^{2/3} $$

Поле скоростей вне шара $r > R(t)$:

$$ V(t, r) = V^{out}(t, r) \equiv - \sqrt{\frac{2 k M}{r}} $$

Поле скоростей внутри шара $r \le R(t)$:

$$ V(t, r) = V^{in}(t, r) \equiv - \frac{2 r}{3 \left( t_0 - t \right) } $$

Плотность пыли вне шара равна нулю, а внутри шара однородна:

$$ \rho(t, r) = \frac{1}{6 \pi \, k \left( t_0 - t \right)^2 } $$

Тензор энергии-импульса пыли:

$$ T_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = \rho(t, r) \, dt^2 $$

На границе шара $r = R(t)$:

$$ V^{in}(t, R(t)) = V^{out}(t, R(t)) $$

Масса шара:

$$ 4 \pi \int\limits_{0}^{R(t)} \rho(t, r) \, r^2 dr = M $$

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1391848 писал(а):

В отличие от сферы, для коллапсирующего из бесконечности с нулевой начальной скоростью однородного пылевого шара массы $M$ решение очень простое.

И написано в учебниках.

Собственно, кажется, сфера вообще коллапсирует так же.

[SergeyGubanov]

Тонкая пылевая сфера, кажется, не устойчива и со временем должна бы "разваливаться" в сферу не тонкую. А неоднородная сфера конечной толщины коллапсирует не так же как однородный шар.

Если вдруг кому не лень, то можно попробовать посчитать численно. Уравнение на поле скоростей (взято из The spherically symmetric gravitational field):

$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2 r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \, V^2 \right) = 0 $$

Плотность пыли:

$$ \rho = - \frac{1}{4 \pi \, k \, r}\frac{\partial V}{\partial t} $$

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1391875 писал(а):

Тонкая пылевая сфера, кажется, не устойчива и со временем должна бы "разваливаться" в сферу не тонкую.

Кажется, что наоборот (но надо считать)...

[schekn]

Geen в сообщении #1391699 писал(а):

Но, на самом деле, этот метод с оболочками (формализм Израэля?) работает и в другую сторону - непрерывное распределение вещества можно заменить бесконечным числом оболочек (и это просто математика)...

Если поместите вторую оболочку внутри и с той же плотностью, то расстояние между ними будет сокращаться по мере коллапса; если плотность во второй больше , чем в первой , возможно пересечение оболочек выше гравитационного радиуса. Внешняя оболочка падает быстрее внутренней (если начальные условия одинаковы). А вот с пробной частицей не все понятно.

-- 09.05.2019, 10:12 --

SergeyGubanov в сообщении #1391875 писал(а):

Если вдруг кому не лень, то можно попробовать посчитать численно.

Если расстояние между пылинками , когда оболочка достигнет гравитационного радиуса $L$, и оно сильно больше радиуса пылинок $r_0$ , то считаете на расстоянии порядка $L$ от оболочки будет Шварцшильд?

[Munin]

Geen в сообщении #1391750 писал(а):

Там некоторая проблема с каустиками будет...

Да. Внутренняя граница толстой оболочки не будет ускоряться внутрь вообще. Грустно.

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #1391875 писал(а):

Если вдруг кому не лень, то можно попробовать посчитать численно. Уравнение на поле скоростей (взято из The spherically symmetric gravitational field):

$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2 r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \, V^2 \right) = 0 $$

Плотность пыли:

$$ \rho = - \frac{1}{4 \pi \, k \, r}\frac{\partial V}{\partial t} $$

Попробовал и ничего путного не получилось. В общем, эти формулы для слоя конечной толщины не применимы. В этих формулах подразумевается, что пылевая среда является "конгруэнтной" (или можно сказать "когерентной"), то есть в каждой точке характеризуется плотностью $\rho$ и полем скоростей $u^{\mu}$. Но в коллапсирующем слое конечной толщины в одной и той же точке присутствуют пылевые частицы движущиеся с разными скоростями. Это довольно сложно описать. Например, для пылевой среды состоящей из двух фракций с плотностями $\rho^{(1)}$ и $\rho^{(2)}$ тензор энергии-импульса будет:

$$ T_{\mu \nu} = \rho^{(1)} u^{(1)}_{\mu} u^{(1)}_{\nu} + \rho^{(2)} u^{(2)}_{\mu} u^{(2)}_{\nu}. $$

А в этой задаче будет прямо таки какая-то "континуальная сумма" пылевых фракций:

$$ T_{\mu \nu} = \sum\limits_{k} \rho^{(k)} u^{(k)}_{\mu} u^{(k)}_{\nu}. $$

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1392235 писал(а):

Это довольно сложно описать.

Я думаю, для понимания поведения достаточно будет две тонкие сферы подсчитать...

[Munin]

Континуальной суммы возникать не должно.

Возьмём начальное состояние толстой оболочки как параметризованное параметром $r_0.$ Дальше можно считать её движущейся как множество тонких оболочек, каждая из которых пронумерована своим номером $r_0,$ который никогда не меняется. Тогда отображение $r_0\mapsto r$ ($r$ - радиальная координата в текущей метрике в каком-то сферически-симметричном $3+1$-разложении) будет всегда отображением отрезка в отрезок. Такое ощущение, что всегда непрерывным, гладким, и без промежутков постоянства (я понимаю почему, "физически", но не могу доказать строго). А тогда в каждой точке $r$ будет конечное число компонент, может быть, в какой-то ситуации стремящееся к бесконечности, но не более чем счётной.