Коллапс тонкой пылевой оболочки

[Geen]

Munin в сообщении #1392246 писал(а):

но не более чем счётной.

Но, кстати, интересный вопрос - может ли быть точка накопления каустик и что будет после неё?...

[epros]

Задача с толстой пылевой оболочкой явно бесперспективна, поскольку сферические слои, очевидно, будут периодически меняться местами. Если уж хочется поработать с толстой оболочкой, лучше всего заложить условие сохранения её толщины. Это будет эквивалентно задаче падения множества радиально направленных жёстких стержней длины $\Delta r$. В итоге в ТЭИ появятся компоненты, соответствующие давлению в радиальном направлении. В пределе $\Delta r \to 0$ получим всё ту же пылевую сферу.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1391966 писал(а):

Geen в сообщении #1391750 писал(а):

Там некоторая проблема с каустиками будет...

Да. Внутренняя граница толстой оболочки не будет ускоряться внутрь вообще. Грустно.

Сорян, протормозил. Если принять то, что внутренняя граница не ускоряется внутрь является фичей, а не багом, то по крайнеё мере одно частное точное решение мне известно очень давно.

Итак, метрика:

$$ g_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = dt^2 - \left(dr - V(t,r) \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d \varphi^2 $$

Пусть $r=R_1$ - внутренняя граница пылевой оболочки, а $r = R_2(t)$ - внешняя граница. Внутренняя граница не движется $R_1 = \operatorname{const}$.

В области $r \le R_1$ имеем плоское пространство событий:

$$ V(t, r) = 0, \qquad G_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = 0. $$

В области $r \ge R_2(t)$ имеем пространство Шварцшильда (в координатах Пэнлеве):

$$ V(t, r) = - \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, \qquad G_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = 0. $$

В области $(r \ge R_1) \, \& \, (r \le R_2(t))$ имеем:

$$ V(t, r) = \frac{2 r}{3 t} - \frac{2 R_1}{3 t} \sqrt{\frac{R_1}{r}}, \qquad G_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = \frac{4}{3t^2}\left( 1 - \left( \frac{R_1}{r} \right)^{3/2} \right) dt^2 = 8 \pi k \, \rho(t, r) \, dt^2. $$

Функцию $R_2(t)$ можно найти либо из условия сшивки поля скоростей $V(t, r)$ при $r = R_2(t)$:

$$ \frac{2 R_2(t)}{3 t} - \frac{2 R_1}{3 t} \sqrt{\frac{R_1}{R_2(t)}} = - \sqrt{\frac{2 k M}{R_2(t)}} $$

либо из "массового" условия:

$$ 4 \pi \int\limits_{R_1}^{R_2(t)} \rho(t, r) \, r^2 dr = M $$

Получаем:

$$ R_2(t) = \left( R_1^{3/2} - \sqrt{2 k M} \frac{3 t}{2} \right)^{2/3} $$

При $t=-\infty$ было $R_2 = \infty$, а при $t = 0$ оболочка стала бесконечно тонкой $R_2 = R_1$.

Аналитическое продолжение в область $t > 0$ ничего не даёт, там эти формулы описывают не продолжение коллапса, а нечто другое.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1392409 писал(а):

либо из "массового" условия:

Это неверно (если я правильно понял) - "гравитационная масса" включает в себя "кинетическую энергию".

[Munin]

Идея epros-а спасает положение. У меня другая идея: поместим в центр оболочки маленькую чёрную дыру, чтобы внутренние части оболочки тоже могли падать. Может быть, удастся подобрать параметры так, чтобы оболочка не успела схлопнуться по толщине, до того, как упадёт под новый горизонт событий.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1392414 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1392409 писал(а):

либо из "массового" условия:

Это неверно (если я правильно понял) - "гравитационная масса" включает в себя "кинетическую энергию".

Прямым счётом убедитесь, что в обоих случаях получается одно и тоже:

$$ g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} = \rho $$

$$ - \frac{1}{8 \pi k} R = \rho $$

$$ M = - \frac{1}{8 \pi k} \int\limits_{R_1}^{R_2(t)} \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} R \, r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi = \frac{2}{9 k \, t^2} \left( R_2^{3/2}(t) - R_1^{3/2} \right)^2 $$

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1392416 писал(а):

У меня другая идея: поместим в центр оболочки маленькую чёрную дыру, чтобы внутренние части оболочки тоже могли падать. Может быть, удастся подобрать параметры так, чтобы оболочка не успела схлопнуться по толщине, до того, как упадёт под новый горизонт событий.

Пусть $M_1$ - масса центральной чёрной дыры, $M_2$ - масса коллапсирующей пылевой оболочки, $r=R_1(t)$ - внутренняя граница оболочки, $r = R_2(t)$ - внешняя граница оболочки. Тогда:

Область $r \le R_1(t)$:

$$ V(t, r) = - \sqrt{\frac{2 k M_1}{r}}, \qquad G_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = 0. $$

Область $r \ge R_2(t)$:

$$ V(t, r) = - \sqrt{\frac{2 k (M_1+M_2)}{r}}, \qquad G_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = 0. $$

Область $(r \ge R_1(t)) \, \& \, (r \le R_2(t))$:

$$ V(t, r) = \frac{2 r}{3 t} - \frac{2 R_0}{3 t} \sqrt{\frac{R_0}{r}}, \qquad G_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \frac{4}{3 t^2} \left( 1 - \left( \frac{R_0}{r} \right)^{3/2} \right) dt^2 = 8 \pi k \, \rho(t,r) \, dt^2. $$

Функция $R_1(t)$ находится из условия сшивки поля скоростей $V(t, r)$ при $r = R_1(t)$, получается:

$$ R_1(t) = \left( R_0^{3/2} - \frac{3 t}{2} \sqrt{2 k M_1} \right)^{2/3} $$

Функция $R_2(t)$ находится из условия сшивки поля скоростей $V(t, r)$ при $r = R_2(t)$, получается:

$$ R_2(t) = \left( R_0^{3/2} - \frac{3 t}{2} \sqrt{2 k (M_1 + M_2)} \right)^{2/3} $$

При этом выполняется "массовое" условие (проверяется прямым вычислением):

$$ M_2 = 4 \pi \int\limits_{R_1(t)}^{R_2(t)} \rho(t, r) \, r^2 dr $$

Коллапс пылевой оболочки начинается в момент времени $t = - \infty$ с нулевой начальной скоростью. Константа интегрирования $R_0$ - это радиус на котором верхняя граница оболочки догоняет нижнюю границу в момент времени $t=0$:

$$ R_2(0) = R_1(0) = R_0 $$

То есть если $R_0$ будет меньше гравитационного радиуса центральной чёрной дыры, то пылевая оболочка схлопнется по толщине под её горизонтом.

[Munin]

Вы не поняли. Под новым горизонтом - это в смысле после падения оболочки, когда масса добавится.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1392453 писал(а):

Вы не поняли. Под новым горизонтом - это в смысле после падения оболочки, когда масса добавится.

Можно и так. Константа $R_0$ не зависит от $M_1$ и $M_2$, поэтому её можно сделать какой угодно.

Для размещения горизонта $r_g(t)$ в области $(r \ge R_1(t)) \, \& \, (r \le R_2(t))$ надо будет решить следующее кубическое уравнение:

$$ V(t, r_g(t)) = -1 $$

$$ \frac{2 \, r_g(t)}{3 t} - \frac{2 R_0}{3 t} \sqrt{\frac{R_0}{r_g(t)}} = -1 $$

Решение: https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B(2+r)+%2F+(3+t)+-+(2+R0)+%2F+(3+t)+(R0+%2F+r)%5E(1%2F2)%3D%3D-1,r%5D

[SergeyGubanov]

Для описания пылевой оболочки движущейся с ненулевой начальной скоростью нужна чуть более сложная метрика:

$$ g_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = dt^2 - \left( \frac{dr - V(t, r) \, dt}{W(t,r)} \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin^2(\theta) \, d\varphi^2 $$

$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2 r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \, V^2 \right) = \frac{W^2 - 1}{2 r}, \qquad \frac{\partial W}{\partial t} + V \frac{\partial W}{\partial r} = 0, \qquad G_{\mu \nu} \, dx^{\mu} dx^{\nu} = - \frac{2}{r} \left( \frac{\partial V}{\partial t} + W \frac{\partial W}{\partial r} \right) dt^2. $$