Найти максимальное и минимальное значения

[Charlz_Klug]

svv, вынужден просить помощи. Чего-то я не знаю. Я ввёл вектор $\bar{p}$ с координатами $\{a, b\}$ и вектор $\bar{q}$ с координатами $\{c,d\}$. По условию получаю что квадрат длины вектора $\bar {p}$ равен $a^2 + b^2 = 5$, а квадрат длины вектора $\bar {q}$ равен $c^2 + d^2= 6$. При этом скалярное произведение $\bar {p} \cdot \bar {q} = ac + bd = 0$. Отсюда делаю вывод что векторы $\bar {p}$ и $\bar {q}$ перпендикулярны друг другу. Получается, что вектор $\bar {p}$ бегает по окружности с радиусом $\sqrt {5}$, а вектор $\bar {q}$ — по окружности с радиусом $\sqrt {6}$ и смещён относительно вектора $\bar {p}$ на угол $\dfrac {\pi} {2}$. После этого мне на ум приходят только замены вида

$$a = \sqrt {5} \cos {\alpha},$$ $$b = \sqrt {5} \sin {\alpha},$$ $$c = - \sqrt {6} \sin {\alpha},$$ $$d = \sqrt {6} \cos {\alpha}.$$

С последующей подстановкой в $(a + b)^2 + (c + d)^2$ и приведением к $11 - \sin {2 \alpha}$. Но, насколько я понимаю, это решение тоже длинное. Какое же решение предлагаете Вы?

[svv]

Charlz_Klug в сообщении #1391732 писал(а):

Я ввёл вектор $\bar{p}$ с координатами $\{a, b\}$ и вектор $\bar{q}$ с координатами $\{c,d\}$. По условию получаю что квадрат длины вектора $\bar {p}$ равен $a^2 + b^2 = 5$, а квадрат длины вектора $\bar {q}$ равен $c^2 + d^2= 6$. При этом скалярное произведение $\bar {p} \cdot \bar {q} = ac + bd = 0$. Отсюда делаю вывод что векторы $\bar {p}$ и $\bar {q}$ перпендикулярны друг другу. Получается, что вектор $\bar {p}$ бегает по окружности с радиусом $\sqrt {5}$, а вектор $\bar {q}$ — по окружности с радиусом $\sqrt {6}$ и смещён относительно вектора $\bar {p}$ на угол $\dfrac {\pi} {2}$.

До этого места наши решения совпадают. Я буду обозначать векторы полужирным, а их длину — соответствующей курсивной буквой, например, $|\mathbf p|=p$.

Введём вектор $\mathbf n$ с координатами $(1, 1)$. Тогда
$(a+b)^2+(c+d)^2=(\mathbf p\cdot \mathbf n)^2+(\mathbf q\cdot \mathbf n)^2$.
Представим $\mathbf n$ в виде суммы $\mathbf n_p+\mathbf n_q$, где $\mathbf n_p$ коллинеарен $\mathbf p$, а $\mathbf n_q$ коллинеарен $\mathbf q$. Ясно, что $n_p^2+n_q^2=n^2=2$. Выражение принимает вид:
$p^2 n_p^2+q^2 n_q^2=5n_p^2+6n_q^2$.
Очевидно, что:
при $n_p^2=2$ и $n_q^2=0$, то есть в случае $\mathbf n\parallel\mathbf p$, достигается минимум $5\cdot 2$;
при $n_p^2=0$ и $n_q^2=2$, то есть в случае $\mathbf n\parallel\mathbf q$, достигается максимум $6\cdot 2$.

Возможно, чисто психологически комфортнее представлять $\mathbf p$ и $\mathbf q$ неподвижными (направленными, скажем, по горизонтали и вертикали соответственно), а $\mathbf n$ подвижным. Как Вы понимаете, это ни на что не влияет.

[Charlz_Klug]

svv, спасибо за решение! Для такого решения требуется более глубокое понимание векторов чем у меня. Действительно, Ваше решение короче. Мне удобней представлять $\mathbf {n}$ неподвижным и крутить $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$.

[svv]

Надеюсь, Вы всё-таки хорошо понимаете его логику, а если есть непонятные моменты, постараюсь ответить.

[Charlz_Klug]

svv, сейчас всё предельно понятно. Я сам не догадался бы ввести ещё один вектор и разложить его. Ещё раз спасибо за помощь!

[EUgeneUS]

svv
Красиво!