Найти максимальное и минимальное значения

[Charlz_Klug]

Прошу проверить решение.

Задача:
Какое наибольшее и наименьшее значение принимает выражение $(a+b)^2 + (c+d)^2$, если известно, что действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ удовлетворяют условиям:
$a^2 + b^2 = 5$; $c^2 + d^2 = 6$; $ac + bd = 0$.

Моё решение:
Из $a^2 + b^2 = 5$ получаем, что $a = \pm \sqrt {5-b^2}$. Из $c^2+d^2 = 6$ получаем, что $c = \pm \sqrt {6-d^2}$. Теперь полученные значения подставим в $ac + bd = 0$ и получаем $(\pm \sqrt {5-b^2})(\pm \sqrt {6-d^2}) + bd =0$, отсюда $\pm \sqrt {(5-b^2)(6-d^2)} = -bd$. Возводим обе части в квадрат и получаем $(5-b^2)(6-d^2) = b^2d^2$. Раскрываем скобки и имеем: $30 - 5d^2 - 6b^2 = 0$, выражем $d$: $d = \pm \sqrt {6 - \dfrac {6} {5} b^2} = \pm \sqrt { \dfrac {6} {5} (5 - b^2)}$.

Теперь рассмотрим $(a + b)^2 + (c + d)^2$:
$(a + b)^2 + (c + d)^2 = (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) + 2 (ab + cd) = 5 + 6 + 2 (ab + cd) =$ $11 + 2(ab + cd)$.

Получил $a = \pm \sqrt {5 - b^2} $, $c = \pm \sqrt {6 - d^2} = \pm b \sqrt {\dfrac {6} {5}}$, $d = \pm \sqrt {\dfrac {6} {5}(5 - b^2)}$ и $b$ — свободная переменная.

Что если $a = 0$? Тогда $b \ne 0$ и $d=0$. И в этом случае $ab + cd = 0$. Если же $b = 0$, то $c=0$ и $ab + cd = 0$. Значит, ни один из $a$, $b$, $c$, $d$ не должен равняться нулю.

Таблица для всех допустимых знаков показана ниже.

$$\begin{array}{ccccс} & a & c & b & d \\ 1 & + & + & + & - \\ 2 & + & + & - & + \\ 3 & + & - & + & + \\ 4 & + & - & - & - \\ 5 & - & + & + & + \\ 6 & - & + & - & - \\ 7 & - & - & + & - \\ 8 & - & - & - & + \end{array}$$

Теперь для выражения $ab + cd$ мы имеем:

Первый случай: $\sqrt {5 - b^2} b - b \sqrt {\dfrac {6} {5}} \sqrt {\dfrac {6} {5} (5 - b^2)} = - \dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$.
Второй случай: $\dfrac {b^* \sqrt {5 - b^{*2}}} {5}$ ($b = -b^*$, $b^* > 0$).
Третий случай: $- \dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$.
Четвёртый случай: $\dfrac {b^* \sqrt {5 - b^{*2}}} {5}$.
Пятый случай: $\dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$.
Шестой случай: $- \dfrac {b^* \sqrt {5 - b^{*2}}} {5}$.
Седьмой случай: $\dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$.
Восьмой случай: $-\dfrac {b^* \sqrt {5 - b^{*2}}} {5}$.
Найдём экстремум для $- \dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$: $\left ( - \dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5} \right )' = - \dfrac {1} {5} \cdot \left ( \dfrac {5 - 2b^2} {\sqrt {5-b^2}} \right ) = 0$. Корень: $b = \sqrt {\dfrac {5} {2}}$. Следовательно, максимум для функции $- \dfrac {b \sqrt {5 - b^2}} {5}$ равен нулю и достигается в точке $b = \sqrt {5}$, минимум равен $- \dfrac {1} {2}$ и достигается при $b = \sqrt {\dfrac {5} {2}}$.
Для второго случая $\dfrac {b^* \sqrt {5 - b^{*2}}} {5}$ та же самая точка экстремума, $b^* = \sqrt {\dfrac {5} {2}}$. Здесь максимум равен $\dfrac {1} {2}$ и минимум равен нулю. Аналогично находим экстремумы и для всех остальных случаев. Отсюда делаю заключение, что у выражения $ab + cd$ максимумом является $\dfrac {1} {2}$ и минимум: $- \dfrac {1} {2}$. А значит, для выражения $11 + 2(ab + cd)$ максимум равен $12$, а минимум: $10$.

Ответ: для выражения $(a+b)^2 + (c+d)^2$ при заданных ограничениях максимальное значение — $12$, а минимум — $10$.

[Brukvalub]

Чудовищно громоздкое решение. Ниасилил.
Через тригонометрическую или векторную подстановку решается мгновенно.

[Charlz_Klug]

Brukvalub, подскажите, пожалуйста, где читать по этим темам.

[Eule_A]

Charlz_Klug

Charlz_Klug в сообщении #1390862 писал(а):

$a^2 + b^2 = 5$; $c^2 + d^2 = 6$

Вот эти два условия невероятно напоминают нечто тригонометрическое, нет?

[Charlz_Klug]

Eule_A в сообщении #1390879 писал(а):

Charlz_Klug

Charlz_Klug в сообщении #1390862 писал(а):

$a^2 + b^2 = 5$; $c^2 + d^2 = 6$

Вот эти два условия невероятно напоминают нечто тригонометрическое, нет?

Если записать как $\dfrac {a^2} {5} + \dfrac {b^2} {5} = 1$ и $\dfrac {c^2} {6} + \dfrac {d^2} {6} = 1$, то да, напоминает. Вы намекаете, что можно сделать замену $\dfrac {a^2} {5} = \sin^2 {\alpha}$, $\dfrac {b^2} {5} = \cos^2 {\alpha}$, $\dfrac {c^2} {6} = \sin^2 \beta$ и $\dfrac {d^2} {6} = \cos^2 {\beta}$? А это правомерно?

[Eule_A]

Charlz_Klug в сообщении #1390880 писал(а):

А это правомерно?

Основное тригонометрическое тождество выполняется? Значит, существуют такие $\alpha$ и $\beta$. Теперь нужно ещё проследить, чтобы третье условие выполнялось. А для этого от квадратов нужно избавляться. Аккуратно.

[Brukvalub]

Charlz_Klug в сообщении #1390878 писал(а):

Brukvalub, подскажите, пожалуйста, где читать по этим темам.

С.А. Шестаков Математика ЕГЭ 18-я задача Задачи с параметром параграфы 5.3, 5.4.

[Charlz_Klug]

Eule_A, Brukvalub, спасибо за помощь!
Привожу то, что у меня получилось. Покритикуйте, пожалуйста, выкладки.
Из $\dfrac {a^2} {5} = \sin^2 {\alpha}$ я получаю $a = \sqrt {5} \sin {\alpha}$, аналогично,

$$c = \sqrt {6} \sin {\beta},$$ $$b = \sqrt {5} \cos {\alpha},$$ $$d = \sqrt {6} \cos {\beta}.$$

Подставляю эти значения в условие $ac + bd = 0$ и получаю $\sqrt {30} \sin {\alpha} \sin {\beta} + \sqrt {30} \cos {\alpha} \cos {\beta} = 0$. Из этого уравнения получаю $\sin {(\alpha + \beta)} = 0$. Решением этого уравнения будет $\alpha + \beta = \pi k, k \in \mathbb {Z}$. Могу выразить альфу через бету $\alpha = \pi k - \beta$. И поменяю везде альфу на бету:

$$a = \sqrt {5} \sin {(\pi k - \beta)},$$ $$c = \sqrt {6} \sin {\beta},$$ $$b = \sqrt {5} \cos {(\pi k - \beta)},$$ $$d = \sqrt {6} \cos {\beta}.$$

Осталось выяснить чему равно $ab + cd$. Подставляю найденные значения для $a$, $b$, $c$ и $d$:

$$ab + cd = 5 \sin {(\pi k - \beta)} \cos {(\pi k - \beta)} + 6 \cos {\beta} \sin {\beta} = \dfrac {5} {2} \sin {(2 \pi k - 2 \beta)} + \dfrac {6} {2} \sin {2 \beta} = \dfrac {1} {2} (5 \sin {(-2\beta)} + 6 \sin {2\beta}) =$$

$$= \dfrac {1} {2} (6 \sin {2\beta} - 5 \sin {(2\beta)}) = \dfrac {1} {2} \sin{2\beta}.$$

Теперь это выражение подставляю в $11 + 2(ab +cd) = 11 + 2 \cdot \dfrac {1} {2} \sin {2 \beta} = 11 + \sin {2 \beta}$. Поскольку у $\sin {2 \beta}$ максимальное значение — $1$, а минимальное — $-1$, то у выражения $11 + \sin {2 \beta}$ максимальное значение — $12$, а минимальное — $-1$.

[Eule_A]

Charlz_Klug в сообщении #1391144 писал(а):

получаю $\sqrt {30} \sin {\alpha} \sin {\beta} + \sqrt {30} \cos {\alpha} \cos {\beta} = 0$. Из этого уравнения получаю $\sin {(\alpha + \beta)} = 0$.

Вы не перепутали синус суммы и косинус разности?

[Charlz_Klug]

Eule_A, перепутал. Да. Спасибо. Получается что

$$a = \sqrt {5} \cos {(\beta + \pi k)},$$ $$c = \sqrt {6} \sin {\beta},$$ $$b = - \sqrt {5} \sin {\beta + \pi k},$$ $$d = \sqrt {6} \cos {\beta}.$$

$$ab + cd = 6 \sin {\beta} \cos {\beta} - 5 \cos {(\beta + \pi k) \sin {(\beta + \pi k)}} = \dfrac {1} {2} (6 \cdot 2 \sin {\beta} \cos {\beta} - 5 \cdot 2 \sin {(\beta + \pi k)} \cos {(\beta + \pi k)}) =$$ $$= \dfrac {1} {2} (6 \sin {2 \beta} - 5 \sin {(2 \beta + 2 \pi k)}) = \dfrac {1} {2} (6 \sin {2 \beta} - 5 \sin {2 \beta}) = \dfrac {1} {2} \sin {2 \beta}$$

[svv]

Вы написали, что минимальное значение равно $-1$. Вы так и хотели написать?

[Charlz_Klug]

svv, хотел написать $10$, но загляделся на $-1$. Vielen Dank за замечание!

[svv]

Это решение уже гораздо лучше. Но всё равно довольно много вычислений. Существует способ, при котором почти ничего не приходится вычислять. В то же время он хорошо раскрывает «механику» задачи. Если хотите, расскажу.

[Charlz_Klug]

svv, признателен Вам за предложение! Пожалуйста, пока ничего не рассказывайте. Я сейчас разбираю метод с введением векторов. После того как разберу тогда уже и можно раскрыть интригу.

[svv]

Хорошо, не буду. Мой способ как раз с использованием векторов.