Существует ли такое простое число?

[Someone]

Запустил проверку. Правда, у меня не столь тщательно просеянный набор.
lel0lel, два вопроса.
1) Какое наибольшее $p$ рассматривалось? Судя по списку, немного больше $700000$.
2) Какой наибольший делитель проверялся?

[yk2ru]

Дались эти суммы. Почему бы просто не рассмотреть пары - нечётное и чётное число.
$2^3+3^2$ и $2^9+9^2$ - простое число. Посмотреть например как часто по возрастанию одного из чисел в паре далее будут встречаться простые. Второе из чисел не меняется при этом.

[lel0lel]

1) $p=707767$; сначала была мысль добраться до миллиона (по моим ощущениям это заняло бы не более двух часов), но при таких больших $p$ проверка финального числа длилась бы несколько дней на моем компьютере.
2) Prime[10^8]=2038074743.

[Someone]

lel0lel в сообщении #1333517 писал(а):

2) Prime[10^8]=2038074743.

Очень хорошо. А чем проверяли?

lel0lel в сообщении #1333492 писал(а):

Будет интересно узнать результат, а также время выполнения и базу, по которой проведена проверка.

Программа OpenPFGW по умолчанию использует базу $3$. Правда, её можно заменить, если есть желание.

yk2ru в сообщении #1333516 писал(а):

Дались эти суммы. Почему бы просто не рассмотреть пары - нечётное и чётное число.

По-моему, я где-то видел проект по поиску псевдопростых чисел вида $x^y+y^x$.

[lel0lel]

yk2ru, можно предложить другие варианты задачи - это верно, но здесь задача поставлена так как поставлена. Вот интересная ссылка о вероятно простых вида $x^y+y^x$: http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=x%5Ey%2By%5Ex&action=Search. Там самое большое вероятно простое такого вида это 15^328574+328574^15 (Serge Batalov).

Someone, проверял в Wolfram Mathematica. Код примерно следующий:
Определяем произведения последовательных простых чисел:

l1 =  Product[Prime[j], {j, 2, 10^6}]; 
l2 =  Product[Prime[j], {j, 10^6 + 1, 2 10^6}]; 
l3 =  Product[Prime[j], {j, 2 10^6 + 1, 3 10^6}]; 
l4 =  Product[Prime[j], {j, 3 10^6 + 1, 4 10^6}]; 
l5 =  Product[Prime[j], {j, 4 10^6 + 1, 10^7}];

Думаю, что лучше не делать их слишком большими из соображений дальнейшего использования алгоритма Евклида (похоже, что CoprimeQ использует именно его).

LST = {};
Do[p = Prime[i]; n = 34^p + p^34; 
 If[Total[IntegerDigits[p]] == 34 && CoprimeQ[n, l1] &&  CoprimeQ[n, l2] && CoprimeQ[n, l3] && CoprimeQ[n, l4] && CoprimeQ[n, l5], (AppendTo[LST, p]; Print[p])]; 
 If[IntegerQ[i/1000], Print[i]], {i, 1, 10^6}]
Length[LST]

Числа из LST просеиваем используя

l6 = Product[Prime[j], {j, 10^7+1, 2 10^7}];
l7 =  Product[Prime[j], {j, 2 10^7 + 1, 3 10^7}];

и так далее. Получается шустро.

[Someone]

Довёл проверку до

lel0lel в сообщении #1333517 писал(а):

1) $p=707767$; сначала была мысль добраться до миллиона (по моим ощущениям это заняло бы не более двух часов), но при таких больших $p$ проверка финального числа длилась бы несколько дней на моем компьютере.

Довёл проверку до миллиона. Псевдопростых по основанию $3$ не обнаружено. Для последних проверяемых чисел проверка псевдопростоты занимала больше $190\,000$, но меньше $200\,000$ секунд.

[dimkadimon]

Кто то проверял эти числа? Они хорошие кандидаты потому что $S(p)$ маленькое.

https://oeis.org/A020449

[waxtep]

dimkadimon, беда в том, что $S(p)$ должно быть довольно большим, наименьший кандидат $S(p)=34$

[kotenok gav]

А следующее уже - 76, с числами-гигантами.