Система уравнений

[granit201z]

svv в сообщении #1391022 писал(а):

В общем, непонятно: почему Вы думаете, что должны быть ещё какие-то зависимости между неизвестными?

Ну да. Я ошибся. Из приведенного Вами примера мне это стало видно.

-- 05.05.2019, 22:03 --

granit201z в сообщении #1390990 писал(а):

Здравствуйте! Есть следующая система уравнений:

$E\cdot A\cdot\sin c_i\cdot\sin a_i + G\cdot B\cdot\sin c_i\cdot\sin b_i = X\cdot k_i$

$E\cdot C\cdot\sin c_i\cdot\sin a_i + G\cdot D\cdot\sin c_i\cdot\sin b_i = Y\cdot l_i$

$F\cdot A\cdot\sin d_i\cdot\sin a_i + H\cdot B\cdot\sin d_i\cdot\sin b_i = X\cdot m_i$

$F\cdot C\cdot\sin d_i\cdot\sin a_i + H\cdot D\cdot\sin d_i\cdot\sin b_i = Y\cdot n_i$

Неизвестные тут все, кроме $k_i , l_i , m_i , n_i$

$X$ и $Y$ смог однозначно найти. Т.е. система стала вида:

$E\cdot A\cdot\sin c_i\cdot\sin a_i + G\cdot B\cdot\sin c_i\cdot\sin b_i = K_i$

$E\cdot C\cdot\sin c_i\cdot\sin a_i + G\cdot D\cdot\sin c_i\cdot\sin b_i = L_i$

$F\cdot A\cdot\sin d_i\cdot\sin a_i + H\cdot B\cdot\sin d_i\cdot\sin b_i = M_i$

$F\cdot C\cdot\sin d_i\cdot\sin a_i + H\cdot D\cdot\sin d_i\cdot\sin b_i = N_i$

что, как я понимаю, ее слегка упростило...

[svv]

Отлично! Матричная запись теперь будет
$\begin{bmatrix}\sin c_i&0\\0&\sin d_i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&G\\F&H\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin a_i&0\\0&\sin b_i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\B&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}K_i&L_i\\M_i&N_i\end{bmatrix}$
Удобно считать неизвестными не $a_i, b_i, c_i, d_i$, а их синусы, это чуть упрощает систему. Но Вы, кажется, так и делаете.

В матричной записи легко увидеть, почему решений слишком много. Допустим, мы нашли одно решение. Выберем в левой части две какие-нибудь соседние матрицы (буду называть их «левая» и «правая»). Выберем в левой матрице $k$-й столбец, а в правой матрице $k$-ю строку, где $k\in\{1,2\}$. Например:
$\begin{bmatrix}\sin c_i&0\\0&\sin d_i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&{\color{magenta}G}\\F&{\color{magenta}H}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin a_i&0\\{\color{magenta}0}&{\color{magenta}\sin b_i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\B&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}K_i&L_i\\M_i&N_i\end{bmatrix}$

Выберем число $\lambda\neq 0$. Умножим $k$-ю строку левой матрицы на $\lambda$, а $k$-й столбец правой матрицы разделим на $\lambda$:
$\begin{bmatrix}\sin c_i&0\\0&\sin d_i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&{\color{magenta}\lambda G}\\F&{\color{magenta}\lambda H}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin a_i&0\\{\color{magenta}0}&{\color{magenta}\lambda^{-1}\sin b_i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\B&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}K_i&L_i\\M_i&N_i\end{bmatrix}$
Очевидно, после такого преобразования система по-прежнему удовлетворяется, так что полученные матричные элементы можно считать новыми значениями неизвестных. Разумеется, $\lambda$ надо выбирать так, чтобы новые значения синусов не вышли за пределы $[-1;+1]$. Это несложно.

Таким способом мы получаем бесконечное число других решений. Более того, у нас есть аж шесть (такого сорта; а есть и пара более хитрых) независимых преобразований, или степеней свободы, позволяющих получать новые решения системы. И это совсем не хорошо, если Вы вдруг так подумали.

[granit201z]

svv в сообщении #1391318 писал(а):

Очевидно, после такого преобразования система по-прежнему удовлетворяется, так что полученные матричные элементы можно считать новыми значениями неизвестных

Да, я это понимаю.

svv в сообщении #1391318 писал(а):

Таким способом мы получаем бесконечное число других решений. Более того, у нас есть аж шесть (такого сорта; а есть и пара более хитрых) независимых преобразований, или степеней свободы, позволяющих получать новые решения системы. И это совсем не хорошо, если Вы вдруг так подумали.

И это тоже.
Более того, я не уверен, что все решения, полученные таким способом окажутся решениями той задачи, которая привела меня к этой системе уравнений. Скорее всего (опять же это мне интуитивно кажется, а потому могу и ошибаться) лишь совсем небольшое подмножество решений будут решениями той задачи

-- 06.05.2019, 23:30 --

вчера долго смотрел, как баран на новые ворота на свою систему, а сегодня с утра меня осенило! $\sin c_i$ и $\sin d_i$. Мне оказывается тоже известны. Ну по крайней мере они однозначно вычисляются из условий задачи. Так что неизвестных осталось не так уж и много. Т.е. теперь получается, что на каждую четверку уравнений добавляется по два новых неизвестных. В общем при 16-ти уравнениях система все-таки становится определенной.

Вот правда только, если добавить еще один слой в нейросеть, то и синусов в четверках станет больше (6 штук, только два из которых можно найти явно). И получается, что тогда на каждую четверку будет добавляться по 4 новых. И опять она (новая система) станет всегда недоопределенной. Возможно я опять чего-то в упор не вижу...

[svv]

granit201z в сообщении #1391392 писал(а):

Т.е. теперь получается, что на каждую четверку уравнений добавляется по два новых неизвестных. В общем при 16-ти уравнениях система все-таки становится определенной.

Допустим, самой левой матрицы с $\sin c_i$ и $\sin d_i$ нет. И, допустим, у Вас есть тысяча таких четвёрок уравнений. Казалось бы, уравнений намного больше, чем неизвестных. К сожалению, Вы по-прежнему можете взять любое решение, умножить $G$ и $H$ на $2.85$, а все $\sin b_i$ разделить на $2.85$, и это тоже будет решением. А потом разделить все $\sin a_i$ на $4.17$ и умножить $A$ и $C$ на $4.17$. Ведь это очевидно, правда? Структура системы у Вас такая...

-- Вт май 07, 2019 01:23:43 --

Я Вам близкую аналогию приведу. Рассмотрим систему:
$\begin{cases}a+x_1=2\\b+x_1=3\\a+x_2=5\\b+x_2=6\\a+x_3=8\\b+x_3=9\end{cases}$
Тут 6 уравнений и 5 неизвестных. Система совместна. Чему может быть равно $a$? Ответ: чему угодно.

[kotenok gav]

"Число уравнений больше, чем неизвестных" годится только тогда, когда найдется столько линейно независимых уравнений, сколько неизвестных.

[granit201z]

kotenok gav в сообщении #1392883 писал(а):

"Число уравнений больше, чем неизвестных" годится только тогда, когда найдется столько линейно независимых уравнений, сколько неизвестных.

с этим я согласен