Ранг матрицы

[Andrey_Kireew]

Есть блочная матрица следующего вида
$M=\begin{pmatrix} A & \alpha_1 A& \\ A & \alpha_2 A& \\ & .... & \\ A & \alpha_n A & \end{pmatrix}$,
где $\alpha_1 ... \alpha_n $ - произвольные различные действительные положительные числа, $A$ - прямоугольная матрица.

Возникает очевидный вопрос, как соотносятся между собой ранги матриц $A$ и $M$.
Интуиция подсказывает, что $ rank(A) = rank(M) $, но хотелось бы иметь строгое доказательство. И верна ли эта догадка вообще?

[nnosipov]

Andrey_Kireew в сообщении #1391148 писал(а):

И верна ли эта догадка вообще?

Пусть матрица $A$ --- это число $1$, а $n=2$. Чему равен ранг матрицы $M$?

[Padawan]

Видимо, у вас опечатка. Должно быть $\operatorname{rk}M=2\operatorname{rk} A$?

-- Вс май 05, 2019 18:28:35 --

В общем, гипотеза не верна. Она верна, если ранг матрицы $M/A$ (думаю, понятно, что имеется ввиду) равен 2.

[Andrey_Kireew]

Если $\alpha_1 \ne \alpha_2$, а они не равны, то двум. И, что -получается $M$ имеет полный ранг?

[Padawan]

Если $\alpha_2$ существует, то да, ранг 2. А что значит, что $M$ имеет полный ранг?

[Andrey_Kireew]

Padawan в сообщении #1391153 писал(а):

Видимо, у вас опечатка. Должно быть $\operatorname{rk}M=2\operatorname{rk} A$?

да, так и есть

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1391160 писал(а):

А что значит, что $M$ имеет полный ранг?

Обычно это значит, что ранг матрицы совпадает с одним из размеров матрицы (числом строк или числом столбцов).

[Andrey_Kireew]

Padawan в сообщении #1391160 писал(а):

А что значит, что $M$ имеет полный ранг?

если M квадратная

[Padawan]

Вообще, $rank (A\otimes B)=rank A rank B$, где $A\otimes B$ тензорное (или кронекеровское) произведение матриц.

[Andrey_Kireew]

Padawan, но тогда выходит $ rank(B)=2$, ведь у неё только 2 столбца.
Что, получается, всё таки $rank(M)=2\cdot rank(A)$?

-- 05.05.2019, 19:13 --

Padawan в сообщении #1391166 писал(а):

$rank (A\otimes B)=rank A rank B$

а где можно найти эту формулу, чтобы на неё сослаться? есть наверное какой нибудь учебник?
справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем

[arseniiv]

Вывести её, вывести. Ранг матрицы — размерность образа соотв. линейного оператора, кронекеровское произведение — тензорное произведение операторов.

В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.

[Padawan]

$\operatorname{im} (A\otimes B)=\operatorname{im} A\otimes\operatorname{im}B $. Попробуйте доказать эту формулу. Из неё следует формула для рангов.

[vpb]

Andrey_Kireew в сообщении #1391169 писал(а):

справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем

Справедливо и в общем случае.

Вот план доказательства (пригодный даже в том случае, если Вы не знаете, что такое тензорное произведение пространств или операторов).

Через $A\times B$ будем обозначать кронекеровское произведение матриц $A$ и $B$. Т.е.

$$ A\times B \ = \ \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \ldots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \ldots & a_{2n}B \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \ldots & a_{mn}B \end{pmatrix}. $$

Лучше бы писать не $\times$, а "$\times$ с точкой", но в смысле обычного умножения матриц символ $\times$ употреблять не будем, поэтому, надеюсь, путаницы не возникнет.

(Кронекеровское произведение матриц отвечает тензорному произведению операторов, но это нам, строго говоря, не нужно. )

(продолжение следует)

-- 05.05.2019, 22:22 --

1) Докажите (непосредственными вычислениями с матрицами), что если $A_1$, $A_2$, $B_1$, и $B_2$ --- матрицы размеров $m_A\times n_A$, $n_A\times p_A$, $m_B\times n_B$ и $n_B\times p_B$ соответственно, то $(A_1\times B_1) (A_2\times B_2)= A_1A_2 \times B_1B_2$.
(Заметим, что размеры матриц $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ подобраны так, чтобы произведения $A_1A_2$ и $B_1B_2$ были определены).

2) Выведите отсюда, что если $A$ и $B$ --- обратимые квадратные матрицы, размеров $m$ и $n$ соответственно, то $A\times B$ --- тоже обратимая квадратная матрица (размера $mn$).

(продолжение следует)

-- 05.05.2019, 22:36 --

3) Вспомните, что ранг матрицы не меняется, если умножить ее справа или слева на невырожденную квадратную матрицу (соответствующего размера)

4) Докажите, что для любой прямоугольной матрицы $A$ существуют невырожденные квадратные матрицы $B$, $C$ такие, что $BAC$ --- диагональная.

5) Докажите соотношение $\operatorname{rk} (A\times B)= \operatorname{rk}(A)\operatorname{rk}(B)$ для диагональных матриц.

6) Используя результаты предыдущих задач, докажите это соотношение в общем случае.

-- 05.05.2019, 22:45 --

arseniiv в сообщении #1391177 писал(а):

В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.

Нет, в Кострикин-Манине этого, строго говоря, нет. Конечно, если человек сдюжил четвертую главу КМ изучить, то он этот факт докажет. Но ТС, возможно, не сдюжит.

[Andrey_Kireew]

Спасибо vpb, выглядит убедительно. Буду разбираться

[Padawan]

Padawan в сообщении #1391213 писал(а):

$\operatorname{im} (A\otimes B)=\operatorname{im} A\otimes\operatorname{im}B $

И левая и правая часть есть линейная оболочка одного и того же множества векторов $(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv$. Вот и все доказательство.
Плюс учтите, что размерность тензорного произведения равна произведению размерностей сомножителей.