справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем
Справедливо и в общем случае.
Вот план доказательства (пригодный даже в том случае, если Вы не знаете, что такое тензорное произведение пространств или операторов).
Через

будем обозначать кронекеровское произведение матриц

и

. Т.е.
Лучше бы писать не

, а "

с точкой", но в смысле обычного умножения матриц символ

употреблять не будем, поэтому, надеюсь, путаницы не возникнет.
(Кронекеровское произведение матриц отвечает тензорному произведению операторов, но это нам, строго говоря, не нужно. )
(продолжение следует)
-- 05.05.2019, 22:22 --1) Докажите (непосредственными вычислениями с матрицами), что если

,

,

, и

--- матрицы размеров

,

,

и

соответственно, то

.
(Заметим, что размеры матриц

,

,

,

подобраны так, чтобы произведения

и

были определены).
2) Выведите отсюда, что если

и

--- обратимые квадратные матрицы, размеров

и

соответственно, то

--- тоже обратимая квадратная матрица (размера

).
(продолжение следует)
-- 05.05.2019, 22:36 --3) Вспомните, что ранг матрицы не меняется, если умножить ее справа или слева на невырожденную квадратную матрицу (соответствующего размера)
4) Докажите, что для любой прямоугольной матрицы

существуют невырожденные квадратные матрицы

,

такие, что

--- диагональная.
5) Докажите соотношение

для диагональных матриц.
6) Используя результаты предыдущих задач, докажите это соотношение в общем случае.
-- 05.05.2019, 22:45 --В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.
Нет, в Кострикин-Манине этого, строго говоря, нет. Конечно, если человек сдюжил четвертую главу КМ изучить, то он этот факт докажет. Но ТС, возможно, не сдюжит.