справедлива ли она для произвольных матриц?
в сети я её нашел - но там сказано, что это для случая квадратных матриц, а как быть с общим случаем - понятно не совсем
Справедливо и в общем случае.
Вот план доказательства (пригодный даже в том случае, если Вы не знаете, что такое тензорное произведение пространств или операторов).
Через
будем обозначать кронекеровское произведение матриц
и
. Т.е.
Лучше бы писать не
, а "
с точкой", но в смысле обычного умножения матриц символ
употреблять не будем, поэтому, надеюсь, путаницы не возникнет.
(Кронекеровское произведение матриц отвечает тензорному произведению операторов, но это нам, строго говоря, не нужно. )
(продолжение следует)
-- 05.05.2019, 22:22 --1) Докажите (непосредственными вычислениями с матрицами), что если
,
,
, и
--- матрицы размеров
,
,
и
соответственно, то
.
(Заметим, что размеры матриц
,
,
,
подобраны так, чтобы произведения
и
были определены).
2) Выведите отсюда, что если
и
--- обратимые квадратные матрицы, размеров
и
соответственно, то
--- тоже обратимая квадратная матрица (размера
).
(продолжение следует)
-- 05.05.2019, 22:36 --3) Вспомните, что ранг матрицы не меняется, если умножить ее справа или слева на невырожденную квадратную матрицу (соответствующего размера)
4) Докажите, что для любой прямоугольной матрицы
существуют невырожденные квадратные матрицы
,
такие, что
--- диагональная.
5) Докажите соотношение
для диагональных матриц.
6) Используя результаты предыдущих задач, докажите это соотношение в общем случае.
-- 05.05.2019, 22:45 --В Кострикине—Манине если не найдётся, будет странно.
Нет, в Кострикин-Манине этого, строго говоря, нет. Конечно, если человек сдюжил четвертую главу КМ изучить, то он этот факт докажет. Но ТС, возможно, не сдюжит.