Дана ограниченная последовательность
, удовлетворяющая условию
. Доказать, что последовательность
имеет предел.
-- 03.05.2019, 18:25 --Предполагаю, что нужно доказать в начале, что
сходится. Она имеет какой-то предел, для которого я знаю лишь границы: он лежит где-то в отрезке от константы, ограничивающей
снизу, до
. Доказать я это не могу.
Полагаю, что
имеет предельную точку (по Больцано-Вейерштрассу). Может если показать, что эта предельная точка единственна, то можно будет сделать вывод о пределе последовательности? На самом деле, я тоже не могу доказать единственность (если вообще это имеет смысл).
Можно посмотреть на верхний и нижний пределы и сказать, что они равны. Не знаю, как.
Ну или попробовать посмотреть на верхний предел и как-то его связать с
. Но и верхний частичный предел я тоже не могу найти.
О последовательности я могу сказать следующее: она может вполне себе быть константной (с какого-то номера за счёт нестрогости неравенства в условии); она может монотонно убывать; она может скакающе подходить к какой-то предельной точки. На мой взгляд, других исходов нет. Вот этот вот последний как раз-таки не даёт мне сделать какие либо выводы.