Доказать, что последовательность имеет предел

[Neopoznanno]

Дана ограниченная последовательность $x_n$, удовлетворяющая условию $x_{n+2}\le\frac{x_{n+1}+x_n}{2}$. Доказать, что последовательность $y_n=\max\{x_n,x_{n+1}\}$ имеет предел.

-- 03.05.2019, 18:25 --

Предполагаю, что нужно доказать в начале, что $x_n$ сходится. Она имеет какой-то предел, для которого я знаю лишь границы: он лежит где-то в отрезке от константы, ограничивающей $x_n$ снизу, до $x_1+\frac{2}{3}(x_2-x_1)$. Доказать я это не могу.
Полагаю, что $x_n$ имеет предельную точку (по Больцано-Вейерштрассу). Может если показать, что эта предельная точка единственна, то можно будет сделать вывод о пределе последовательности? На самом деле, я тоже не могу доказать единственность (если вообще это имеет смысл).
Можно посмотреть на верхний и нижний пределы и сказать, что они равны. Не знаю, как.
Ну или попробовать посмотреть на верхний предел и как-то его связать с $y_n$. Но и верхний частичный предел я тоже не могу найти.
О последовательности я могу сказать следующее: она может вполне себе быть константной (с какого-то номера за счёт нестрогости неравенства в условии); она может монотонно убывать; она может скакающе подходить к какой-то предельной точки. На мой взгляд, других исходов нет. Вот этот вот последний как раз-таки не даёт мне сделать какие либо выводы.

[vpb]

Докажите (это почти тривиально), что $y_n$ невозрастает. А затем, кстати, можно доказать, что и сама $x_n$ сходится.

[ewert]

Монотонность игреков -- это, конечно, хорошо (и, скорее всего, так и загадывалось), но и сходимость самих иксов в лоб тоже нетрудна. Тут пафос в том, что иксы не могут "существенно возрастать": если вдруг оказалось $x_{n+1}-x_n=d>0$, то все дальнейшие иксы лежат ниже $x_{n+1}$ не менее чем на $\frac{d}4$.

Так вот, предположим, что нижний предел иксов меньше верхнего. Заберёмся настолько далеко, что все дальнейшие иксы если и превосходят верхний предел, то лишь чуть-чуть. И выберем среди них икс,лишь чуть-чуть отличающийся от нижнего предела. Причём такой, что следующий за ним лежит уже выше. Тогда все следующие иксы не смогут приблизиться к верхнему пределу на расстояние, существенно меньшее четверти расстояния между верхним и нижним пределами. Противоречие.

[Neopoznanno]

ewert, спасибо

-- 04.05.2019, 23:16 --

ewert в сообщении #1390835 писал(а):

все дальнейшие иксы лежат ниже $x_{n+1}$ не менее чем на $\frac{d}4$

Почему $\frac{d}{4}$, а не $\frac{d}{2}$?

[ewert]

Neopoznanno в сообщении #1391010 писал(а):

Почему $\frac{d}{4}$, а не $\frac{d}{2}$?

Не менее чем на $\frac{d}{2}$ опустится следующая точка после тех двух, оттолкнувшись вниз от второй из них. Но затем четвёртая отскочит от третьей на $\frac{d}{4}$ (или меньше) уже вверх. Т.е. затухающие осцилляции будут наблюдаться в промежутке от $\frac{d}{2}$ до $\frac{3d}{4}$ (если не считать возможного дополнительного спуска).

[Neopoznanno]

ewert в сообщении #1390835 писал(а):

Так вот, предположим, что нижний предел иксов меньше верхнего. Заберёмся настолько далеко, что все дальнейшие иксы если и превосходят верхний предел, то лишь чуть-чуть. И выберем среди них икс,лишь чуть-чуть отличающийся от нижнего предела. Причём такой, что следующий за ним лежит уже выше. Тогда все следующие иксы не смогут приблизиться к верхнему пределу на расстояние, существенно меньшее четверти расстояния между верхним и нижним пределами. Противоречие.

$\uparrow$Эта часть Вашего сообщения непонятна.

ewert в сообщении #1390835 писал(а):

превосходят верхний предел, то лишь чуть-чуть

и

ewert в сообщении #1390835 писал(а):

лишь чуть-чуть отличающийся от нижнего предела

Как это так? Мы берём такое $n$, что $x_n$ больше верхнего предела, но при этом он будет находиться недалеко от нижнего, я всё правильно поняла?

-- 04.05.2019, 23:43 --

ewert в сообщении #1391015 писал(а):

Neopoznanno в сообщении #1391010 писал(а):

Почему $\frac{d}{4}$, а не $\frac{d}{2}$?

Не менее чем на $\frac{d}{2}$ опустится следующая точка после тех двух, оттолкнувшись вниз от второй из них. Но затем четвёртая отскочит от третьей на $\frac{d}{4}$ (или меньше) уже вверх. Т.е. затухающие осцилляции будут наблюдаться в промежутке от $\frac{d}{2}$ до $\frac{3d}{4}$ (если не считать возможного дополнительного спуска).

Это поняла.