Нужен ликбез по обобщённым функциям

[Mikhail_K]

Red_Herring
g______d
Большое спасибо! Буду разбираться.

g______d в сообщении #1390645 писал(а):

Кроме того, некоторые вопросы, связанные с расходимостями в квантовой электродинамике/теории поля связаны с проблемой перемножения обобщённых функций (могу привести ссылки на учебники, если нужно).

Пожалуйста, приведите. Не то чтобы я был уверен, что смогу в этих вопросах разобраться, но глянуть одним глазом на такое применение обобщённых функций мне было бы полезно. А может и не одним.

-- 02.05.2019, 08:32 --

g______d в сообщении #1390645 писал(а):

Как отметил ewert, дельта-образные последовательности возникли до появления дельта-функции Дирака. Было замечено, что если потребовать от последовательности каких-то общих свойств, то для приложений не важно, какую именно дельта-образную последовательность использовать.

Можно это чуть развернуть? Где исторически использовались дельта-образные последовательности? Типа, рассматривались УЧП с функциями из таких последовательностей в правой части и наблюдалось, что их решения куда-то приближаются (а именно к фундаментальному решению)? Или также имеется в виду что-то иное?

[pogulyat_vyshel]

Между прочим, важность топологии в $\mathcal{D}(\mathbb{R}^m),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m$ видна уже из следующей элементарной задачи.
Решить уравнение
$x_1 f=1$ относительно $f\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^m).$
Введем пространство $E=\{x_1\varphi\mid\varphi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^m)\}.$ Определим
$f$ на $E$ формулой $(f,\psi):=(1,\psi/x_1)$. Продолжим полученный функционал по теореме Хана-Банаха до непрерывного функционала на $\mathcal{D}(\mathbb{R}).$

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1390651 писал(а):

Где исторически использовались дельта-образные последовательности?

Уравнение теплопроводности. Фундаментальное решение при $t=0$ будет $\delta$, а при $t\to +0$ ... То же для Шредингера... И как показывает описанный мной пример, даже для Лапласа.

Есть две давно забытые замечательные книги. Одна: Хермандер "Линейные дифференциальные ..." 1 томник 60тых , давно устаревшая, в значительной мере благодаря усилиям Хермандера, но мне нравится изложение теории обобщенных функций там. Вторая: Курант, "Уравнения с частными производными", которая показывает, что можно содержательно изучать УЧП, причем такие вопросы, как распространение сингулярностей, без теории обобщенных функций. Но лучше--с ней

-- 02.05.2019, 03:28 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1390659 писал(а):

родолжим полученный функционал по теореме Хана-Банаха до непрерывного функционала на $\mathcal{D}(\mathbb{R}).$

Но на самом деле здесь используется только топология $C_0^1([-1,1])$ плюс возможность разбиения единицы. И Хермандер, который в своем однотомнике вообще не касался топологии, а использовал исключительно сходимость, доказывал близкую по духу теорему: если обобщенная функция сосредоточена в $0$, то она комбинация $\delta(x)$ и ее производных.

A топология в $\mathscr{D}(\mathbb{R})$ это индуктивный предел проективных пределов--чур меня!

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1390661 писал(а):

Но на самом деле здесь используется только топология $C_0^1([-1,1])$ плюс возможность разбиения единицы

Хорошо, едем дальше. Следующий вопрос: а сколько решений имеет данное уравнение в $ \mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)?$
Утв. Пусть $f_1,f_2\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^m$ -- решения данного уравнения. Тогда $f_1-f_2$ это линейный функционала вида $\varphi\mapsto(g,\varphi(0,x_2,\ldots,x_m))$, где $g\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^{m-1})$. Это как будете доказывать без топологии в $ \mathcal{D}(\mathbb{R}^m)?$

upd!

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1390664 писал(а):

Это как будете доказывать без топологии

Элементарно: сузим на $B(0,R)$ (и потом рассмотрим для всех $R>0$) и тем самым избавимся от индуктивного предела (достаточно определения обобщенной функции как линейной формы, непрерывной относительно сходимости ф-й из $\mathscr{D}$, т.е. сходятся в любой норме $C^m$ и имеют носители в общем компакте. Это в точности как Шварц определял:

L. Schwartz в «Théorie des distributions», стр. 24--25 писал(а):

Les distributions. Une distribution $T$ est alors une forme linéaire
sur $\mathscr{D}$), dont la restriction à chaque $\mathscr{D}_K$, $K$ compact de $\mathbb{R}^n$, est
continue. Nous dirons encore, par abréviation, que c'est une forme
linéaire continue sur $\mathscr{D}$).
En langage ordinaire, distribution $T$ donc ...

b) $T$ est « continue » :
si des $\varphi_j\in \mathscr{D}$ ont leurs supports contenus dans un compact fixe
de $\mathbb{R}^n$ , et si elles convergent uniformément vers $0$ dans $\mathbb{R}^n$ ainsi que
chacune de leurs dérivées, alors les nombres complexes $T(\varphi_j)$
convergent vers $0$.

Да, он упоминает топологию, и да, где-то доказано, что непрерывность обобщенной функции как функционала в этой топологии эквивалентна непрерывности относительно сходимости, но тоже в топологию не лезет. Для любителей топологии отмечу, что двойственное пространство к индуктивному пределу есть проективный предел двойственных пространств, но вот двойственное пространство к проективному пределу может быть шире индуктивного предела двойственных пространств. В частности, поэтому встречаются обобщенные функции с бесконечным показателем сингулярности, как например $\sum_{0\le k <\infty} \delta^{(k)}(x-k)$.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1390665 писал(а):

Элементарно: сузим на $B(0,R)$ (и потом рассмотрим для всех $R>0$) и тем самым избавимся от индуктивного предела (достаточно определения обобщенной функции как линейной формы, непрерывной относительно сходимости ф-й из $\mathscr{D}$, т.е. сходятся в любой норме $C^m$ и имеют носители в общем компакте

Нет это уже непонятно, во всяком случае без подробностей. Я для доказательства того, что произвол исчерпывается этим, использовал теорему об открытости отображения еще там некоторые содержательные вещи.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1390667 писал(а):

Нет это уже непонятно, во всяком случае без подробностей

Значит, наша обобщенная функция является также обобщенной функцией на $\mathscr{D}_K$, $K=B(0,R)$ (шар), и это уже счетно-нормированное пр-во. Тогда она непрерывна на $\mathscr{D}^m_K$, $m=m(K)$ и значит имеет указанный вид $\varphi = x_1 \psi_K(x')$, $x'=(x_2,\ldots,x_n)$. Разумеется $\psi_K\in \mathscr{D}'_{K'}$, и легко видеть что сужение $\psi_{K'_2}$ на $K'_1\subset K'_2$ совпадает с $\psi_{K'_1}$. Тем самым есть $\psi\in \mathscr{D}(\mathbb{R}^{n-1})$ ...

Под непрерывностью понимается "непрерывность от-но сходимости"

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1390668 писал(а):

Значит, наша обобщенная функция является также обобщенной функцией на $\mathscr{D}_K$, $K=B(0,R)$ (шар), и это уже счетно-нормированное пр-во. Тогда она непрерывна на $\mathscr{D}^m_K$, $m=m(K)$ и значит имеет указанный вид

Почему имеет указанный вид (какой вид, то, что я написал выше?) что такое $K'$? Нет, я такие тексты не читаю, спасибо.

[Munin]

g______d в сообщении #1390645 писал(а):

Одной из классических монографий по PDE, активно это использующей, является четырёхтомник Хёрмандера "Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными", но надо учесть, что ей уже больше 30 лет, и с тех пор наука продвинулась вперёд. Но всё-таки она неизмеримо ближе к современному состоянию области, чем учебники, в которых учат разделять переменные в прямоугольнике и в шаре.

Но разделять переменные тоже надо уметь. А учат ли этому современные учебники (или хотя бы Хёрмандер)?

Я бы с интересом почитал, например, про разделение переменных в операторе Лапласа на $n$-мерной сфере. Или даже на $(p,q)$-мерной.

-- 02.05.2019 13:49:12 --

Red_Herring
Извините, что слушая учёный разговор, улавливая только какие-то слова, лезу с вопросами, но

Red_Herring в сообщении #1390661 писал(а):

вообще не касался топологии, а использовал исключительно сходимость

Это как это?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1390673 писал(а):

Но разделять переменные тоже надо уметь. А учат ли этому современные учебники (или хотя бы Хёрмандер)?

Учебники университетского уровня учат. Более продвинутые--обычно нет, предполагается что это уже выучено. Но Хермандер (в т.ч. однотомник) --не учебник, а монография и естественно не учит.

Цитата:

Цитата:

вообще не касался топологии, а использовал исключительно сходимость

Это как это?

Есть пространства топологические, а есть пространства со сходимостью, которая не отвечает никакой топологии. Классический пример: сходимость п.в. (из всякой последовательности $f_n$, сходящейся по мере к $f$, можно выбрать подпоследовательность $f_{n_k}$, сходящейся п.в. к $f$ и потому, если бы сходимость п.в. была топологической, то $f_n$, сходилась бы п.в. к $f$. Однако есть последовательности, сходящиеся по мере, но не п.в.

Согласно определению Шварца, которое я привел, обобщенная функция д.б. непрерывна относительно сходимости тестовых функций (то, что это эквивалентно непрерывности в топологии, где-то доказывается).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1390675 писал(а):

Учебники университетского уровня учат. Более продвинутые--обычно нет, предполагается что это уже выучено.

Спасибо! То есть, "наука" в этом направлении уже закончилась, грубо говоря?

Спасибо за ответы!

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1390671 писал(а):

Почему имеет указанный вид (какой вид, то, что я написал выше?) что такое $K'$? Нет, я такие тексты не читаю, спасибо.

$K'$ очевидно шар в $\mathbb{R}^{n-1}$, почему такой вид--по теореме Хана-Банаха в нормированном пространстве $\mathscr{D}^m_K$ (Вам же все равно нужно ссылаться на какое-нибудь нормированное пространство для этой теоремы). Но факт заключается в том, что сам Л. Шварц определял непрерывность обобщенной функции через сходимость, не через топологию. Этому следуют и И.М.Гельфанд & Г.Е.Шилов в Обобщенных функциях. I.

Разумеется, это не отменяет того, что $\mathscr{D}$ топологическое пространство, и что грамотный математик должен знать общую теорию линейных топологических пространств.

-- 02.05.2019, 06:39 --

(Разделение переменных)

Munin в сообщении #1390677 писал(а):

То есть, "наука" в этом направлении уже закончилась, грубо говоря?

Безусловно. В курсе "УЧП" для нематематиков (впрочем, многие "математики мажоры" (ступенька вниз от "специалистов" в Канаде) его берут) разделению переменных уделяется половина времени. Но стоит отметить, что метод разделения переменных очень ограничен. Например, для двойного Лапласа $\Delta^2 =0$ он не работает из-за смешанных производных. Но если рассмотреть в диске или кольце, то разложение в ряды Фурье по полярному углу работает!

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1390678 писал(а):

Безусловно.

Ясно, спасибо! А примерно на каком уровне она закончилась? По сравнению с "курсом УЧП для нематематиков".

-- 02.05.2019 14:55:40 --

То есть, вся продолжающаяся наука в PDE так или иначе с обобщёнными функциями работает, я правильно понял?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1390680 писал(а):

То есть, вся продолжающаяся наука в PDE так или иначе с обобщёнными функциями работает, я правильно понял?

Нет, и об этом я писал в своем первом сообщении на эту тему.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1390651 писал(а):

Пожалуйста, приведите. Не то чтобы я был уверен, что смогу в этих вопросах разобраться, но глянуть одним глазом на такое применение обобщённых функций мне было бы полезно. А может и не одним.

Вводные книги (примеры):

Folland, "Quantum field theory: a tourist guide for mathematicians".

Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодоров "Общие принципы квантовой теории поля".

Более современные ссылки есть, например, здесь:

https://ncatlab.org/nlab/show/product+of+distributions

Цитата:

The issue of mutliplying distributions has prominently been perceived in perturbative quantum field theory, where operator-valued distributions serve to give the algebra of observables such as the Wick algebra of the free fields or more generally the interacting field algebra.

A popular impression is (or has been) that the failure of distributions to have a globally defined product is a failure of the mathematical formalism to support the structures needed to model perturbative quantum field theory. But in fact the opposite is true: Handling the product of distributions correctly via proper analysis of their wave front set and handling the point-extension of distributions properly via analysis of their scaling degree leads to a mathematical rigorous construction and mathematically captures all the effects expected from the non-rigorous treatmeants, notably the renormalization freedom. This is the topic of causal perturbation theory/locally covariant perturbative quantum field theory, see there for more.

Mikhail_K в сообщении #1390651 писал(а):

Можно это чуть развернуть? Где исторически использовались дельта-образные последовательности?

Например, в рядах Фурье: ядра Дирихле и Фейера.

-- Чт, 02 май 2019 06:33:05 --

Munin в сообщении #1390680 писал(а):

Ясно, спасибо! А примерно на каком уровне она закончилась? По сравнению с "курсом УЧП для нематематиков".

Откройте книгу Миллер, "Симметрия и разделение переменных". Ещё в этом топике немного обсуждалось:

topic122561.html

Надо понимать, что УЧП обычно описывают многомерные системы. А разделение переменных -- это ситуация, при которой многомерная система распадается на невзаимодействующие одномерные. Для этого нужна некоторая специальная симметрия уравнения, области, и краевых условий.

"Настоящие" УЧП -- это теория про системы, которые принципиально не распадаются на системы меньшей размерности (upd: убрал лишнее «не»).

По поводу Хёрмандера -- надо понимать, что для его комфортного чтения (если это вообще возможно), желательно владеть университетским курсом линейных УЧП для математиков, например, на уровне первой половины Эванса. Того же Владимирова, например, мало, там нет пространств Соболева.