Перекрестные производные

[VanD]

Честно говоря, не совсем корректно то, что я написал сообщением ранее (там, где про размерность). Конечномерным пространство решений будет, если в бесконечном пространстве струй $J^{\infty}(2, 2)$ поверхность, соответствующая бесконечно продолженной системе, будет конечномерна.

Например, система $F_{xx} = 0, F_{xy} = 0, G_{xx} = 0, G_{xy} = 0$ очевидно не будет конечномерной (в силу системы не удастся выразить производные $F_{yy}, G_{yy}, F_{yyy}, \dots$ и соответствующие символы координат останутся внутренними координатами на ней). Тут просто бесконечномерное пространство решений будет: $F(x, y) = C_1x + f(y), G(x, y) = C_2x + g(y)$.

Если бесконечно продолженная поверхность конечномерна в $J^\infty(2, 2)$ (пусть там её размерность $N$), то размерность пространства решений в точности $N - 2$.

Это следует из того, что распределение Картана (то, которое мы и строили), в $J^{\infty}(2, 2)$ будет инволютивно, но не вполне интегрируемо.
Тогда его ограничение на поверхность конечной размерности тоже будет инволютивно, а там это критерий вполне интегрируемости.