Гидродинамика: труба с переменным сечением

[Rat]

А вот и вопросы появились.

Вот смотрите. Есть система для квазиодномерного движения

Уравнение неразрывности

$$\frac{\partial}{\partial t} (\rho S) + \frac{\partial}{\partial x}(\rho v S)=0$$

Уравнение движения

$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho S v) + \frac{\partial}{\partial t} (\rho S v^2 + pS) = p \frac{\partial S}{\partial x}$$

Однако, если немного поколдовать над этим уравнением, то получится

$$ v \left[ \frac{\partial}{\partial t} (\rho S) + \frac{\partial}{\partial x} (\rho Sv) \right] + \rho S \frac{\partial v}{\partial t} + \rho S v \frac{\partial v}{\partial x} + S \frac{\partial p}{\partial x}=0$$

Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения неразрывности. Деля уравнение на $\rho S$ приходим к уравнению товарища Эйлера

$$ \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}=0$$

Вопрос возникает - какой же смысл в этом уравнении движения, если оно все равно сводится к Эйлеру, да еще и много сложнее его?

[Eugeen1948]

Rat писал(а):

Вопрос возникает - какой же смысл в этом уравнении движения, если оно все равно сводится к Эйлеру, да еще и много сложнее его?

В дифферециальных уравнениях никакой разницы нет. И дело тут вовсе не в простоте записи уравнений. Главное, как решать уравнения! А вот тут-то и скрыта сущность разных форм записи.
Вообще уравнения сохранения выводятся в интегральной форме, а уж потом используются теоремы урматфизов. Чтобы численно решать задачи, вовсе не требуется переходить к дифференциальной форме! А часто это даже вредно для численных методов.
Далее, дифференциальная форма может иметь три вида:
- консервативная;
- характеристическая;
- примитивная (Эйлерова).
Как показала практика, наиболее приемлемые результаты дают численные методы с использованием первых двух форм. Это подробно обсуждается в соответствующей литературе (ссылки я уже давал). Там много проблем, с которыми трудно бороться в примитивной форме (напр. схемные псевдоисточники массы, импульса и энергии), трудно строить схемы порядка выше первого (я даже не слышал о таких).
Вообще, когда Вы сами начнете экспериментировать с численными решениями, Вы быстро придете к выводу о малопригодности примитивной формы.
Даже у серьёзных авторов, напр. у Рихтмайера, встречаются фразы такого содержания: ..."неочевидно что численная схема МакКормака имеет второй порядок точности, неочевидно даже что она аппроксимирует исходные уравнения (гидродинамики), но по ней получены прекрасные результаты!...."
Каково слышать такое от известного математика!!! Просто он понимает что решение уравнений гидродинамики скорее искусство чем наука!

[Rat]

Eugeen1948 в сообщении #137015 писал(а):

Вообще уравнения сохранения выводятся в интегральной форме, а уж потом используются теоремы урматфизов. Чтобы численно решать задачи, вовсе не требуется переходить к дифференциальной форме! А часто это даже вредно для численных методов.

То есть вы хотите сказать, что проще решать интегральные уравнения, чем дифференциальные?
Например, данная система выглядит так
\begin{gather} \int \limits_V \frac{ \partial p}{\partial t} dV = - \int \limits_{\Sigma} \rho \vec v d \vec \sigma\\ \int \limits_V \rho \frac{ \partial p}{\partial t} dV + \int \limits_{\Sigma} \rho \vec v (\vec v d \vec \sigma) + \int \limits_{\Sigma} p_n d \vec \sigma=0 \end{gather}
где (1) - уравнение неразрывности, (2) - уравнение импульсов.

Что можно вытащить из таких уравнений?

Eugeen1948 в сообщении #137015 писал(а):

Как показала практика, наиболее приемлемые результаты дают численные методы с использованием первых двух форм.

У меня система решилась именно с уравнением Эйлера

[Eugeen1948]

Rat писал(а):

Eugeen1948 в сообщении #137015 писал(а):

Вообще уравнения сохранения выводятся в интегральной форме, а уж потом используются теоремы урматфизов. Чтобы численно решать задачи, вовсе не требуется переходить к дифференциальной форме! А часто это даже вредно для численных методов.

То есть вы хотите сказать, что проще решать интегральные уравнения, чем дифференциальные?
Например, данная система выглядит так
\begin{gather} \int \limits_V \frac{ \partial p}{\partial t} dV = - \int \limits_{\Sigma} \rho \vec v d \vec \sigma\\ \int \limits_V \rho \frac{ \partial p}{\partial t} dV + \int \limits_{\Sigma} \rho \vec v (\vec v d \vec \sigma) + \int \limits_{\Sigma} p_n d \vec \sigma=0 \end{gather}
где (1) - уравнение неразрывности, (2) - уравнение импульсов.

Что можно вытащить из таких уравнений?

Даю Вам наводку ( не на Водку!). Вспомните напр. формулу Симпсона для численного интегрирования!

Eugeen1948 в сообщении #137015 писал(а):

Как показала практика, наиболее приемлемые результаты дают численные методы с использованием первых двух форм.

У меня система решилась именно с уравнением Эйлера

Вот когда начнете решать реальные задачи, а самое главное сравнивать с экспериментальными данными, то поймете в чем фишка!

[Rat]

У меня еще вопрос появился.

Пусть у меня изэнтропическое 3-хмерное течение, это означает
\begin{equation} \frac{ds}{dt}=0 \end{equation}

Возьмем уравнение состояния в виде

$$p=p(\rho,s)$$

Найдем полную производную по времени

$$\frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{d \rho}{dt}+ \frac{\partial p}{\partial s} \frac{ds}{dt}$$

Но

$$\frac{ds}{dt}=0$$

в силу (1). А

$$\frac{\partial p}{\partial \rho}=a^2$$

Тогда

$$\frac{dp}{dt}=a^2 \frac{d \rho}{dt}$$

.
Где

$$\frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p$$

$$\frac{d \rho}{dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho$$

Тогда

$$\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p - a^2 \left (\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho \right) = 0$$

Правомерно ли такое уравнение энергии?

Eugeen1948 в сообщении #137108 писал(а):

Вот когда начнете решать реальные задачи, а самое главное сравнивать с экспериментальными данными, то поймете в чем фишка!

Это более, чем реальная задача, сравнение которой с экспериментом предусматривается.

Примите, конечно, мою искреннюю благодарность за то, что Вы мне посоветовали книгу, но Вы вообще можете сказать что-либо конкретное? А то про "реальные" задачи я тоже могу написать. Только толку от этого никакого не будет.

[Kazak]

А из уравнения 4 после "Тогда" а=1???

[Rat]

Kazak писал(а):

А из уравнения 4 после "Тогда" а=1???

Что, простите?

[Eugeen1948]

Rat писал(а):

У меня еще вопрос появился.

Пусть у меня изэнтропическое 3-хмерное течение, это означает
\begin{equation} \frac{ds}{dt}=0 \end{equation}

Возьмем уравнение состояния в виде

$$p=p(\rho,s)$$

Найдем полную производную по времени

$$\frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial \rho} \frac{dp}{dt}+ \frac{\partial p}{\partial s} \frac{ds}{dt}$$

Но

$$\frac{ds}{dt}=0$$

в силу (1). А

$$\frac{\partial p}{\partial \rho}=a^2$$

Тогда

$$\frac{dp}{dt}=a^2 \frac{dp}{dt}$$

.
Где

$$\frac{dp}{dt}=\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p$$

$$\frac{d \rho}{dt}=\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho$$

Тогда

$$\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p - a^2 \left (\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho \right) = 0$$

Правомерно ли такое уравнение энергии?

Eugeen1948 в сообщении #137108 писал(а):

Вот когда начнете решать реальные задачи, а самое главное сравнивать с экспериментальными данными, то поймете в чем фишка!

Это более, чем реальная задача, сравнение которой с экспериментом предусматривается.

Примите, конечно, мою искреннюю благодарность за то, что Вы мне посоветовали книгу, но Вы вообще можете сказать что-либо конкретное? А то про "реальные" задачи я тоже могу написать. Только толку от этого никакого не будет.

Посмотрите внимательно на полную производную, там ошибка. В первом слагаемом должна стоять производная плотности по времени а не давления.
Кстати, Вы знакомы с дифференциальными уравнениями термодинамики?
Рекомендую очень понятную книгу, в которой очень доходчиво изложено то о чем Вы спрашиваете: Вукалович М.П., Новиков И.И. Термодинамика, Машиностроение, М. 1972 г.

Далее.
Да бог с ней, с трехмерностью, Вы потренируйтесь на одномере, в пространсво потом войдете легко.
По поводу вопросов.
Давайте конкретный вопрос, я попробую на него ответить (уже отвечаю!).

[Парджеттер]

Eugeen1948 в сообщении #138369 писал(а):

Посмотрите внимательно на полную производную, там ошибка. В первом слагаемом должна стоять производная плотности по времени а не давления.

Хм.. судя по правильности дальнейших уравнений это просто опечатка. То есть смысл не утерян.

Eugeen1948 в сообщении #138369 писал(а):

Давайте конкретный вопрос, я попробую на него ответить (уже отвечаю!).

И где же ответ? У вас все как обычно. Ссылочки, рекламочка, элементы общей теории, списанные из учебников и интернета. А на прямой вопрос ответить - ни за что.

Rat писал(а):

$$\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p - a^2 \left (\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho \right) = 0$$

Правомерно ли такое уравнение энергии?

В случае изэнтропического течения - правомерно. Не знаю, правда, какая Вас интересует точность, а также какие у Вас начальные условия, поэтому в зависимости от этого скорость звука $a$ можно считать константой или же нет. Плюс такого уравнения, однако, в том, что Вы формально не привязаны к конкретному уравнению состояния. С другой стороны - можно ввести еще пару уравнений - одно действительно уравнение энергии (какое-либо термодинамическое), а второе - конкретное уравнение состояния. Если, конечно, у Вас газ. Но я так понимаю, что для жидкости Вы вряд ли стали бы учитывать сжимаемость.

Rat в сообщении #137079 писал(а):

У меня система решилась именно с уравнением Эйлера

А с тем уравнением не решается?

[Eugeen1948]

Rat писал(а):

Цитата:

У меня еще вопрос появился.

Правомерно ли такое уравнение энергии?

Это Ваше уравнение энергии справедливо только для однородной однофазной среды (без фазовых переходов) и при течении без учета сопротивления диссипативных сил (напр. трение о стенки канала где течет среда). Практическая ценность такого уравнения весьма мала.
Я и спрашиваю Вас: в чем вопрос, в чем заключается Ваша конечная цель?

[Александр Т.]

Rat писал(а):

У меня еще вопрос появился.

Пусть у меня изэнтропическое 3-хмерное течение, это означает
\begin{equation} \frac{ds}{dt}=0 \end{equation}

Возьмем уравнение состояния в виде

$$p=p(\rho,s)$$

...
Тогда

$$\frac{\partial p}{\partial t} + (\vec v \nabla) p - a^2 \left (\frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec v \nabla) \rho \right) = 0$$

Правомерно ли такое уравнение энергии?

Повторю вслед за Парджеттером: правомерное (с соответствующими оговорками). Хотя я бы не стал называть это условие уравнением энергии.

Имейте также в виду, что, вообще говоря, $a=a(\rho,s)$, и, если Вы считаете, что $a$ - некоторая константа, то Вы тем самым полагаете, что $p(\rho,s)=a^2\rho+p_0(s)$, где $p_0(s)$ - некоторая функция только энтропии. Последнее является довольно сильным предположением и я с ходу не могу сообразить, как оно соотносится с физической реальностью.

P.S. Кроме опечаток в формулах можно еще придраться к некоторым формулировкам, которые "режут слух", но это - непринципиально. А опечатки в своем сообщении все-таки исправьте.

P.P.S. Исправил первоначальный вариант этого сообщения, содержащий ошибочные утверждения.

[Eugeen1948]

[quote="Александр Т."][quote="Rat"]
Имейте также в виду, что, вообще говоря, $a=a(\rho,s)$, и, если Вы считаете, что $a$ - некоторая константа, то Вы тем самым полагаете, что $p(\rho,s)=a^2\rho+p_0$, где $p_0$ - некоторая константа. Последнее является очень сильным предположением и, на мой взгляд, вряд ли может соответствовать какой-либо физической реальности.
quote]
Почему?
В предположениях Rat это уравнение и есть уравнение энергии. Мало того, и скорость звука, как функция производной давления по плотности при постоянной энтропии не предполагает никакой линеаризации или аппроксимации. Но если в процессе течения среды происходит переход через состояния фазового равновесия (через бинодаль) то вышеуказанная производная терпит разрыв и уравнение теряет физичность.
Но как модельное, для отработки численных или аналитических (см. напр.: Дейч М.Е., Филлипов Г.А. - Газодинамика двухфазных сред) решений, оно вполне пригодно!

[Rat]

Парджеттер в сообщении #138376 писал(а):

В случае изэнтропического течения - правомерно. Не знаю, правда, какая Вас интересует точность, а также какие у Вас начальные условия, поэтому в зависимости от этого скорость звука можно считать константой или же нет. Плюс такого уравнения, однако, в том, что Вы формально не привязаны к конкретному уравнению состояния.

Спасибо!

Парджеттер в сообщении #138376 писал(а):

С другой стороны - можно ввести еще пару уравнений - одно действительно уравнение энергии (какое-либо термодинамическое), а второе - конкретное уравнение состояния.

А что это дает?

Парджеттер в сообщении #138376 писал(а):

Если, конечно, у Вас газ. Но я так понимаю, что для жидкости Вы вряд ли стали бы учитывать сжимаемость.

Да, пока я рассматриваю газ. Но, в принципе, потом хочу рассмотреть также и жидкость.

Eugeen1948 в сообщении #138384 писал(а):

Это Ваше уравнение энергии справедливо только для однородной однофазной среды (без фазовых переходов)

Ну вообще так оно и есть в целом.
А, кстати, почему оно справедливо только в таких условиях? Эти условия не следуют из изэнтропичности?

Eugeen1948 в сообщении #138384 писал(а):

Практическая ценность такого уравнения весьма мала.

Почему?

Александр Т. в сообщении #138543 писал(а):

Хотя я бы не стал называть это условие уравнением энергии.

Почему?

Александр Т. в сообщении #138543 писал(а):

Кроме опечаток в формулах можно еще придраться к некоторым формулировкам, которые "режут слух", но это - непринципиально

Например?

Александр Т. в сообщении #138543 писал(а):

А опечатки в своем сообщении все-таки исправьте.

Сделано.

[Парджеттер]

Rat в сообщении #138987 писал(а):

А что это дает?

В вашем случае - ничего. А так, если усложнять модель задумаете... Я бы в первую очередь стал учитывать вязкость.

Rat в сообщении #138987 писал(а):

Да, пока я рассматриваю газ. Но, в принципе, потом хочу рассмотреть также и жидкость.

Что, сжимаемую жидкость?

[Eugeen1948]

Rat писал(а):

Eugeen1948 в сообщении #138384 писал(а):

Это Ваше уравнение энергии справедливо только для однородной однофазной среды (без фазовых переходов)

Цитата:

Ну вообще так оно и есть в целом.
А, кстати, почему оно справедливо только в таких условиях? Эти условия не следуют из изэнтропичности?

Что касается однофазности:
В точке фазового равновесия a=0 и третий член выпадает, в то же время в интегральной форме уравнения энергии ничего не меняется.
Что касается однородности среды:
Например течение диссоциирующего газа сопровождается появлением другой среды с выделением (поглощением) энергии, хотя в начальных условиях среда однородная.

Eugeen1948 в сообщении #138384 писал(а):

Практическая ценность такого уравнения весьма мала.

Почему?

А вы сами придумайте задачу из практики, где можно было бы применять это уравнение?