2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 09:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найдите сумму ряда:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n+1}}\left\lfloor\dfrac{2^n}{3}\right\rfloor$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 10:56 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Разбить на 2 части(четные и нечетные $n$) - получим 4 геометрических прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 11:04 


26/08/11
2057
Ну

$\left\lfloor\dfrac{2^{2k}}{3}\right\rfloor=\dfrac{2^{2k}-1}{3}$

$\left\lfloor\dfrac{2^{2k+1}}{3}\right\rfloor=\dfrac{2^{2k+1}-2}{3}$

Остальное прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 15:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Осталось лишь добавить, что задача эта не совсем олимпиадная, тем не менее, она предлагалась на олимпиаде Высшей Школы Экономики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 20:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Другие задачи из этого листка тоже интересны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 22:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv в сообщении #1389852 писал(а):
Другие задачи из этого листка тоже интересны.

Не затруднит ли Вас выложить наиболее Вам понравившуюся? Не открывать же новую тему для каждой из задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение27.04.2019, 22:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Выложу ту, с которой я начал.

5. Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, состоящее из всех матриц размера $2\times 2$. Найдите собственные значения линейного оператора $L_A: V\to V\,,$ действующего по формуле $L_A(X)=AX-XA\,,$ где$$A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение28.04.2019, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Мне понравилась вторая.

Все остальные не очень. В частности, пятая мне кажется задачей "на четвёрку" даже для того курса линейной алгебры, который был у меня на первом курсе (не математического факультета). Не то что бы она плохая (требуются некоторые базовые знания, чтобы не диагонализовывать в лоб матрицу 4 на 4), но именно что на четвёрку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение28.04.2019, 05:05 
Аватара пользователя


24/03/19
147
g______d в сообщении #1389911 писал(а):
Не то что бы она плохая (требуются некоторые базовые знания, чтобы не диагонализовывать в лоб матрицу 4 на 4), но именно что на четвёрку.

Не в лоб $-$ это выбрать удобный базис, включающий $E$ и $A$, затем считать определитель 4 на 4? Или можно изящнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение28.04.2019, 05:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
SiberianSemion в сообщении #1389928 писал(а):
Или можно изящнее?


Ну тут подсказка, что $A$ легко диагонализуется, поэтому надо её диагонализовать и посмотреть, что будет.

А именно, пусть $W(A)=U^{-1}AU=D$ -- диагональная матрица. Рассмотрим оператор $W$ как оператор замены базиса в пространстве матриц $2\times 2$. Тогда можно видеть, что $W L_A W^{-1}=L_D$, где $D$ -- диагональная матрица (если я с порядком не наврал).

Оператор $L_D$ устроен так: он умножает два диагональных матричных элемента на нули, другие два (внедиагональных) -- соответственно на $\lambda_1-\lambda_2$ и $\lambda_2-\lambda_1$, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ -- собственные значения матрицы $A$. Эти четыре числа $0$, $0$, $\lambda_2-\lambda_1$, $\lambda_1-\lambda_2$ и будут его собственными значениями (т. е. ответом). У матрицы $A$ определитель $10$ и след $7$, поэтому $\lambda_1$ и $\lambda_2$ можно найти в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение28.04.2019, 06:46 
Аватара пользователя


24/03/19
147
Красиво!
Я тут руками собственные векторы нашел, решил выложить, не пропадать же добру: $$\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}-2&-4\\1&2\end{pmatrix}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение28.04.2019, 15:04 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А я так рассуждал. Действительно, собственные значения $A$ легко найти: $\lambda_1=2, \lambda_2=5$. Запишем уравнение $L_A(X)=\mu X$ в виде
$(A-\mu E)X=XA$
Известно (Гантмахер, например), что это уравнение относительно $X$ имеет нетривиальное решение титтк у собственных значений $A-\mu E$ и $A$ есть общие. Но у $A-\mu E$ собственные значения $\{\lambda_1-\mu, \lambda_2-\mu\}$. Пересечение этого множества с $\{\lambda_1, \lambda_2\}$ непусто при $\mu\in \{\lambda_1-\lambda_2,0,\lambda_2-\lambda_1\}$.

Легко ещё увидеть, почему значение $\mu=0$ будет кратным: уравнение $AX=XA$ имеет очевидные линейно независимые решения $X=A$ и $X=E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда с целой частью
Сообщение30.04.2019, 19:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Выкладываю остальные задачи.

1. Сколькими способами можно покрасить грани куба в три цвета так, чтобы покрашены были только три грани, а остальные остались непокрашенными? Разные грани можно красить в один и тот же цвет. Раскраски, отличающиеся вращением куба, считаются совпадающими.

2. Рассмотрим подмножество $A$ векторного пространства $\mathbb R^n$. Скажем, что точка $a\in A$ принадлежит ядру множества $A$, если для всякого вектора $x\in \mathbb R^n$ найдется число $\varepsilon>0$ со следующим свойством: $a+\lambda x\in A$ для любого числа $\lambda\in(0, \varepsilon)$.
а) Предположим, что множество $A$ совпадает со своим ядром и выпукло. Докажите, что тогда оно открыто.
б) Верно ли то же утверждение для произвольного, не обязательно выпуклого множества?

4. Пусть $G$ — конечная группа нечетного порядка. Докажите, что если элемент $x\in G$ сопряжен элементу $x^{-1}$, то $x$ совпадает с единичным элементом группы $G$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group