Сумма ряда с целой частью

[Ktina]

Найдите сумму ряда:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{n+1}}\left\lfloor\dfrac{2^n}{3}\right\rfloor$$

[Null]

Разбить на 2 части(четные и нечетные $n$) - получим 4 геометрических прогрессии.

[Shadow]

Ну

$\left\lfloor\dfrac{2^{2k}}{3}\right\rfloor=\dfrac{2^{2k}-1}{3}$

$\left\lfloor\dfrac{2^{2k+1}}{3}\right\rfloor=\dfrac{2^{2k+1}-2}{3}$

Остальное прогрессии.

[Ktina]

Осталось лишь добавить, что задача эта не совсем олимпиадная, тем не менее, она предлагалась на олимпиаде Высшей Школы Экономики.

[svv]

Другие задачи из этого листка тоже интересны.

[Ktina]

svv в сообщении #1389852 писал(а):

Другие задачи из этого листка тоже интересны.

Не затруднит ли Вас выложить наиболее Вам понравившуюся? Не открывать же новую тему для каждой из задач.

[svv]

Выложу ту, с которой я начал.

5. Пусть $V$ — комплексное векторное пространство, состоящее из всех матриц размера $2\times 2$. Найдите собственные значения линейного оператора $L_A: V\to V\,,$ действующего по формуле $L_A(X)=AX-XA\,,$ где

$$A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}.$$

[g______d]

Мне понравилась вторая.

Все остальные не очень. В частности, пятая мне кажется задачей "на четвёрку" даже для того курса линейной алгебры, который был у меня на первом курсе (не математического факультета). Не то что бы она плохая (требуются некоторые базовые знания, чтобы не диагонализовывать в лоб матрицу 4 на 4), но именно что на четвёрку.

[SiberianSemion]

g______d в сообщении #1389911 писал(а):

Не то что бы она плохая (требуются некоторые базовые знания, чтобы не диагонализовывать в лоб матрицу 4 на 4), но именно что на четвёрку.

Не в лоб $-$ это выбрать удобный базис, включающий $E$ и $A$, затем считать определитель 4 на 4? Или можно изящнее?

[g______d]

SiberianSemion в сообщении #1389928 писал(а):

Или можно изящнее?

Ну тут подсказка, что $A$ легко диагонализуется, поэтому надо её диагонализовать и посмотреть, что будет.

А именно, пусть $W(A)=U^{-1}AU=D$ -- диагональная матрица. Рассмотрим оператор $W$ как оператор замены базиса в пространстве матриц $2\times 2$. Тогда можно видеть, что $W L_A W^{-1}=L_D$, где $D$ -- диагональная матрица (если я с порядком не наврал).

Оператор $L_D$ устроен так: он умножает два диагональных матричных элемента на нули, другие два (внедиагональных) -- соответственно на $\lambda_1-\lambda_2$ и $\lambda_2-\lambda_1$, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ -- собственные значения матрицы $A$. Эти четыре числа $0$, $0$, $\lambda_2-\lambda_1$, $\lambda_1-\lambda_2$ и будут его собственными значениями (т. е. ответом). У матрицы $A$ определитель $10$ и след $7$, поэтому $\lambda_1$ и $\lambda_2$ можно найти в уме.

[SiberianSemion]

Красиво!
Я тут руками собственные векторы нашел, решил выложить, не пропадать же добру:

$$\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}-2&-4\\1&2\end{pmatrix}.$$

[svv]

А я так рассуждал. Действительно, собственные значения $A$ легко найти: $\lambda_1=2, \lambda_2=5$. Запишем уравнение $L_A(X)=\mu X$ в виде
$(A-\mu E)X=XA$
Известно (Гантмахер, например), что это уравнение относительно $X$ имеет нетривиальное решение титтк у собственных значений $A-\mu E$ и $A$ есть общие. Но у $A-\mu E$ собственные значения $\{\lambda_1-\mu, \lambda_2-\mu\}$. Пересечение этого множества с $\{\lambda_1, \lambda_2\}$ непусто при $\mu\in \{\lambda_1-\lambda_2,0,\lambda_2-\lambda_1\}$.

Легко ещё увидеть, почему значение $\mu=0$ будет кратным: уравнение $AX=XA$ имеет очевидные линейно независимые решения $X=A$ и $X=E$.

[svv]

Выкладываю остальные задачи.

1. Сколькими способами можно покрасить грани куба в три цвета так, чтобы покрашены были только три грани, а остальные остались непокрашенными? Разные грани можно красить в один и тот же цвет. Раскраски, отличающиеся вращением куба, считаются совпадающими.

2. Рассмотрим подмножество $A$ векторного пространства $\mathbb R^n$. Скажем, что точка $a\in A$ принадлежит ядру множества $A$, если для всякого вектора $x\in \mathbb R^n$ найдется число $\varepsilon>0$ со следующим свойством: $a+\lambda x\in A$ для любого числа $\lambda\in(0, \varepsilon)$.
а) Предположим, что множество $A$ совпадает со своим ядром и выпукло. Докажите, что тогда оно открыто.
б) Верно ли то же утверждение для произвольного, не обязательно выпуклого множества?

4. Пусть $G$ — конечная группа нечетного порядка. Докажите, что если элемент $x\in G$ сопряжен элементу $x^{-1}$, то $x$ совпадает с единичным элементом группы $G$.